Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Летела стая гусей. На каждом озере садилась половина гусей и еще полгуся. Остальные летели дальше. Все гуси сели на n озерах.
Сколько всего гусей было в стае?
Четыре круга, центры которых являются вершинами выпуклого четырёхугольника, целиком покрывают этот четырёхугольник. Докажите, что из них можно выбрать три круга, которые покрывают треугольник с вершинами в центрах этих кругов.
а) Докажите, что если в треугольнике медиана совпадает
с высотой, то этот треугольник равнобедренный.
б) Докажите, что если в треугольнике биссектриса совпадает
с высотой, то этот треугольник равнобедренный.
Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2n – 1) = n2.
Числа в вершинах В неориентированном графе без кратных ребер и петель расставить в вершинах числа так, чтобы если вершины соединены ребром, то числа имели общий делитель, а если нет - то нет. Входные данные. В файле INPUT.TXT записано число N (0<N<7) - количество вершин в графе. Затем записана матрица смежности. Выходные данные. В файл OUTPUT.TXT вывести N натуральных чисел из диапазона Longint, которые вы предлагаете приписать вершинам. Пример файла INPUT.TXT 3 0 1 1 1 0 0 1 0 0 Пример файла OUTPUT.TXT 6 2 3
В пространстве имеется 43 точки: 3 желтых и 40 красных. Никакие четыре из них не лежат в одной плоскости. Может ли количество треугольников с красными вершинами, зацепленных с треугольником с желтыми вершинами, быть равно $2023$?
Жёлтый треугольник зацеплен с красным, если контур красного пересекает часть плоскости, ограниченную жёлтым, ровно в одной точке. Треугольники, отличающиеся перестановкой вершин, считаются одинаковыми.
ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны.
Из вершин A и B опущены перпендикуляры на CD,
пересекающие прямые BD и AC в точках K и L соответственно.
Докажите, что AKLB — ромб.
Даны n комплексных чисел C1, C2,..., Cn, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что
|
|
 |
Условие
Даны n комплексных чисел C1, C2,..., Cn, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что
Решение
Предположим, что точка z лежит вне рассматриваемого многоугольника
C1...Cn. Тогда через точку z можно провести прямую, не пересекающую
многоугольник
C1...Cn. Поэтому векторы z - C1, ..., z - Cn лежат
в одной полуплоскости, заданной этой прямой. Следовательно, в одной
полуплоскости лежат и векторы
, ...,
,
поскольку
=
. Поэтому
