Версия для печати
Убрать все задачи

---

Последовательность чисел {x_n} задана условиями:

Докажите, что последовательность {x_n} монотонна и ограничена. Найдите ее предел.

   Решение

---

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD взяты соответственно точки P, Q, R и Sб  O – точка пересечения отрезков PR и QS.
Докажите,что если  AP : AB = DR : DC  и  AS : AD = BQ : BC,  то и  SO : SQ = AP : AB,  PQ : PR = AS : ;AD.

   Решение

---

Докажите, что при любых целых a и натуральном n выражение  (a + 1)²ⁿ⁺¹ + aⁿ⁺²  делится на  a² + a + 1.

   Решение

---

Игра ``Шоколадка''. Имеется шоколадка, состоящая из 6×8 = 48 долек. Одна из долек отмечена:

Двое игроков по очереди разламывают ее по какой-нибудь прямой, делящей шоколадку на дольки, и съедают ту половину, которая не содержит отмеченной дольки. Проигрывает тот, кто не может сделать хода, то есть ему остается лишь одна отмеченная долька.
а) Опишите выигрышную стратегию в этой игре. Кто из игроков выиграет при данных начальных условиях?
б) При каких размерах шоколадки начинающий игрок выигрывает при любом расположении отмеченной дольки?
в) При каких размерах шоколадки начинающий игрок проигрывает при любом расположении отмеченной дольки?

   Решение

---

В связном графе степени всех вершин чётны. Докажите, что на рёбрах этого графа можно расставить стрелки так, чтобы выполнялись следующие условия:
  а) двигаясь по стрелкам, можно добраться от каждой вершины до любой другой;
  б) для каждой вершины числа входящих и выходящих рёбер равны.

   Решение

---

Можно ли составить решётку, изображённую на рисунке
  а) из пяти ломаных длины 8?
  б) из восьми ломаных длины 5?
(Длина стороны клетки равна 1.)

   Решение

---

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?

   Решение

---

Доказать, что из сторон произвольного четырёхугольника можно сложить трапецию.

   Решение

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Доказать, что из сторон произвольного четырёхугольника можно сложить трапецию.

Решение

Пусть аbсd. Покажем прежде всего, что можно построить треугольник со сторонами а - d, b, с. Для этого необходимо, чтобы выполнялись неравенства

Неравенство (1) равносильно неравенству

которое выполнено, так как а, b, с, d — стороны четырёхугольника (в многоугольнике каждая сторона меньше суммы всех остальных). Так как bа, с - d 0 (в силу наших предположений о числах а, b, с, d), то выполнено и неравенство (2). Аналогично, неравенство (3) следует из того, что са, b - d 0. Построив теперь треугольник со сторонами a - d, b, с, мы легко достроим его до трапеции со сторонами а, b, с, d: нужно продолжить сторону а - d на отрезок d (в любую сторону, например, за конец стороны с) и на отрезках c, d построить параллелограмм.

Источники и прецеденты использования