На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что  AQ = AC,  BP = BC.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Даны 4 точки: A, B, C, D. Найти такую точку O, что сумма расстояний от неё до данных точек минимальна.

   Решение

В описанном четырёхугольнике ABCD  AB = CD ≠ BC.  Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что угол ALB острый.

   Решение

Постройте правильный десятиугольник.

   Решение

Прямая, проходящая через вершину A квадрата ABCD, пересекает сторону CD в точке E и прямую BC в точке F. Докажите, что  ¹/_AE² + ¹/_AF² = ¹/_AB².

   Решение

Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через  (a, b)  поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером a и вертикали с номером b. Фишка с поля  (a, b)  может сделать ход на любое из восьми полей:  (a ± m, b ± n),  (a ± n, b ± m),  где m, n – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав x ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что x чётно.

   Решение

Темы:    [ Четность и нечетность ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Имеется бесконечная шахматная доска. Обозначим через  (a, b)  поле, расположенное на пересечении горизонтали с номером a и вертикали с номером b. Фишка с поля  (a, b)  может сделать ход на любое из восьми полей:  (a ± m, b ± n),  (a ± n, b ± m),  где m, n – фиксированные числа, а "+" и "–" комбинируются произвольно. Сделав x ходов, фишка вернулась на исходное поле. Доказать, что x чётно.

Решение

  Пусть p – разность между количеством ходов вида  (a + m, b + n)  и количеством ходов вида  (a – m, b – n),  q – вида  (a – m, b – n)  и  (a – m, b + n),  r – вида  (a + n, b + m)  и  (a – n, b – n),  s – вида  (a + n, b – m)  и  (a – n, b + n).  Разность двух чисел имеет ту же чётность, что и их сумма, поэтому чётность числа  p + q + r + s  совпадает с чётностью x.
  Поскольку фишка вернулась на исходное поле, то  (p + q)m + (r + s)n = 0,  (p – q)n + (r – s)m = 0.  Значит,  ^p+q/_r+s = ^r–s/_p–q,  то есть  p² – q² – r² + s² = 0.  Чётность левой части совпадает с чётностью суммы  p + q + r + s,  то есть эта сумма чётна. Следовательно, и x чётно.

Источники и прецеденты использования