Версия для печати
Убрать все задачи

---

В треугольнике ABC проведены высоты BB₁ и CC₁. Докажите, что если  ∠A = 45°,  то B₁C₁ – диаметр окружности девяти точек треугольника ABC.

   Решение

---

На сторонах квадрата, как на основаниях, построены во внешнюю сторону равные равнобедренные треугольники с острым углом при вершине. Доказать, что получившуюся фигуру нельзя разбить на параллелограммы.

   Решение

---

Дано n целых чисел  a₁ = 1,  a₂, a₃, ..., a_n, причём   a_i ≤ a_i+1 ≤ 2a_i  (i = 1, 2,..., n – 1)  и сумма всех чисел чётна. Можно ли эти числа разбить на две группы так, чтобы суммы чисел в этих группах были равны?

   Решение

---

Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A₁, B₁ и C₁, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны и прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Числа 1, 2, ..., k² расположены в квадратную таблицу

Произвольное число выписывается, после чего из таблицы вычеркивается строка и столбец, содержащие это число. То же самое проделывается с оставшейся таблицей из  (k – 1)²  чисел и т.д. k раз. Найти сумму выписанных чисел.

   Решение

---

На плоскости P стоит прямой круговой конус. Радиус основания r, высота — h. На расстоянии H от плоскости и l от высоты конуса находится источник света. Какую часть окружности радиуса R, лежащей в плоскости P и концентрической с окружностью, лежащей в основании конуса, осветит этот источник?

   Решение

---

В турнире собираются принять участие 25 шахматистов. Все они играют в разную силу, и при встрече всегда побеждает сильнейший.
Какое наименьшее число партий требуется, чтобы определить двух сильнейших игроков?

   Решение

---

Как надо расположить числа  1, 2, ..., 2n  в последовательности  a₁, a₂, ..., a_2n,  чтобы сумма  |a₁ – a₂| + |a₂ – a₃| + ... + |a_2n–1 – a_2n| + |a_2n – a₁|  была наибольшей?

   Решение

---

Как надо расположить числа 1, 2, ..., 1962 в последовательности a₁, a₂, ..., a₁₉₆₂, чтобы сумма  |a₁ – a₂| + |a₂ – a₃| + ... + |a₁₉₆₁ – a₁₉₆₂| + |a₁₉₆₂ – a₁|  была наибольшей?

   Решение

Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Наибольшая или наименьшая длина ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Как надо расположить числа 1, 2, ..., 1962 в последовательности a₁, a₂, ..., a₁₉₆₂, чтобы сумма  |a₁ – a₂| + |a₂ – a₃| + ... + |a₁₉₆₁ – a₁₉₆₂| + |a₁₉₆₂ – a₁|  была наибольшей?

Решение

  Отметим на числовой прямой точки 1, 2, ..., 1962. Каждому расположению чисел в последовательности a_i можно поставить в соответствие замкнутую ломаную с вершинами a_i, обходящую их по разу. И наоборот, каждой такой ломаной соответствует последовательность a_i. В задаче требуется найти ломаную с максимальной длиной. Длина каждой такой ломаной равна сумме длин отрезков между соседними точками с учётом кратности его покрытия звеньями.
  Отрезок  [s, s + 1]  может покрываться только звеньями, один конец каждого из которых лежит в множестве  {1, ..., s},  а другой – в множестве
{s + 1, ..., 1962}.  Причём каждой вершине любого из этих множеств отвечает не более двух звеньев, а значит, покрывать отрезок  [s, s + 1]  может не более
2 min(s, 1962 – s)  звеньев.
  Осталось построить ломаную, достигающую полученного максимума. Несложно проверить, что ломаная, соответствующая последовательности
881, 881 + 1, 881 – 1, 881 + 2, 881 – 2, ..., 881 + i, 881 – i, ..., 881 + 881,  является искомой.

Ответ

Например:  881, 882, 880, 883, 879, ..., 881 + i, 881 – i, ..., 1962.

Источники и прецеденты использования