Задача 78510

Темы:    [ Окружности на сфере ] [ Неравенства с трехгранными углами ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Доказать, что на сфере нельзя так расположить три дуги больших окружностей в 300^o каждая, чтобы никакие две из них не имели ни общих точек, ни общих концов.

Примечание: Большая окружность – это окружность, полученная в сечении сферы плоскостью, проходящей через ее центр.

Решение

Предположим, что требуемое расположение возможно. Проведем большие окружности сферы, содержащие данные дуги. Пусть A, B, C, A', B', C' – их попарные точки пересечения (если некоторые из них совпадают, решение аналогично), причем пары точек A и A', B и B', C и C' являются диаметрально противоположными. Поскольку каждая из дуг имеет величину более 180°, то она проходит хотя бы через одну точку из каждой пары, а значит хотя бы через две точки из указанных шести. Поэтому, если наши дуги не пересекаются, то каждая из них проходит ровно через две не противоположные точки из данных шести. Без ограничения общности можно считать, что они проходят через A и B', B и C', C и A' соответственно. Будем обозначать через XY дугу большой окружности между точками X и Y, меньшую 180°. Поскольку первая из наших дуг проходит только через A и B', то она не пересекается с A'B. Значит, A'B<360°-300°=60°. Поэтому AB=180°-A'B>120°. Аналогично, BC>120° и CA>120°. Тогда сумма плоских углов трехгранного угла OABC (O – центр сферы) больше 360°, чего не может быть. Итак, расположить дуги требуемым образом нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	26
Год	1963
вариант
	1
Класс	11
Тур	2
задача
Номер	5