Выбрано 9 задач 
Убрать все задачи
В параллелограмме ABCD известны диагонали AC = 15, BD = 9. Радиус окружности, описанной около треугольника ADC, равен 10. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABD.
Известно, что в десятичной записи числа 229 все цифры различны. Есть ли среди них цифра 0?
Пётр Петрович и Иван Иванович ехали вместе в поезде. Каждый из них сначала смотрел в окно, потом читал газету, потом разгадывал кроссворд и под конец пил чай. Только у Петра Петровича на каждое следующее занятие уходило вдвое больше времени, чем на предыдущее, а у Ивана Ивановича – в 4 раза. Начали смотреть в окно они одновременно и кончили пить чай также одновременно. Что делал Пётр Петрович, когда Иван Иванович приступил к кроссворду?
Докажите, что если стороны вписанного четырёхугольника равны a, b, c и d, то его площадь S равна , где p – полупериметр четырёхугольника.
Рассматривается набор гирь, каждая из которых весит целое число граммов, а
общий вес всех гирь равен 500 граммов. Такой набор называется правильным, если любое тело, имеющее вес, выраженный целым числом граммов от 1 до 500, может быть уравновешено некоторым количеством гирь набора, и притом единственным образом
(тело кладётся на одну чашку весов, гири – на другую; два способа уравновешивания, различающиеся лишь заменой некоторых гирь на другие того же веса, считаются одинаковыми).
а) Приведите пример правильного набора, в котором не все гири по одному грамму.
б) Сколько существует различных правильных наборов?
(Два набора различны, если некоторая гиря участвует в этих наборах не одинаковое число раз.)
В треугольнике $ABC$ $AL_a$, $BL_b$, $CL_c$ – биссектрисы, $K_a$ – точка пересечения касательных к описанной окружности в вершинах $B$ и $C$; $K_b$, $K_c$ определены аналогично. Докажите, что прямые $K_aL_a$, $K_bL_b$ и $K_cL_c$ пересекаются в одной точке.
Много лет каждый день в полдень из Гавра в Нью-Йорк отправляется почтовый пароход и в то же время из Нью-Йорка отходит идущий в Гавр пароход той же компании. Каждый из этих пароходов находится в пути ровно семь суток, и идут они по одному и тому же пути.
Сколько пароходов своей компании встретит на своём пути пароход, идущий из Гавра в Нью-Йорк?
Из внешней точки A проведены к кругу касательная AB и секущая ACD. Найдите площадь треугольника CBD, если AC : AB = 2 : 3 и площадь треугольника ABC равна 20.
Обозначим через d(N) число делителей N (числа 1 и N также считаются делителями). Найти все такие N, что число P = – простое.
|
|
 |
Условие
Обозначим через d(N) число делителей N (числа 1 и N также считаются делителями). Найти все такие N, что число P = – простое.
Решение
Пусть – разложение N на простые множители. Без ограничения общности можно считать, что P = p1. Тогда
d(N) = (k1 + 1)(k2 + 1)...(ks + 1) и Нетрудно проверить, что
если p > 3, k ≥ 2, то > p, а если p = 3, k = 2, то
= p;
если p = 3, k > 2, то > p;
если p ≥ 2, то ≥ 1, причём если p > 2 или k > 1, то неравенство строгое;
если p = 2, k ≥ 4, то > p.
Рассмотрим два варианта.
1) N делится на , то есть k1 ≥ 2. В силу приведённых неравенств
не больше p1 только при p1 = 3, k1 = 2 или p1 = 2, k1 = 2 или 3.
В первом случае в произведении уже есть сомножитель, равный p1, значит, все остальные сомножители равны единице. Следовательно, либо N = 9, либо N = 2·9 = 18.
Во втором случае, если k1 = 3, то = 2, а значит, N = 8. Если k1 = 2, то
= 4/3. В знаменателе появилась тройка. Следовательно, N кратно 3. Число N = 3·2² подходит, и поскольку
> 1,5 при k > 1, то в большей степени тройка в разложение N входить не может.
Итак, в этом варианте подходят только числа N = 8, 9, 12 и 18.
2) k1 = 1. Тогда первый множитель равен p1/2. Следовательно, произведение остальных множителей равно 2. Если число N имеет простой делитель, не меньший 5, то соответствующий ему множитель больше 2, что невозможно. Следовательно, N = p·2s³r и при этом r ≤ 1 (иначе > 2) и s ≤ 3 (иначе
> 2). Перебрав все эти варианты, получаем, что подходят числа N = 24, 8p, 12p, 18p.
Ответ
8, 9, 12, 18, 24, 8p, 12p, 18p, где p – произвольное простое число, большее 3.
