Докажите, что если стороны a, b и противолежащие им углы α и β треугольника связаны соотношением  ^a/_{cos α} = ^b/_{cos β},  то треугольник – равнобедренный.

   Решение

Три купчихи – Сосипатра Титовна, Олимпиада Карповна и Поликсена Уваровна – сели пить чай. Олимпиада Карповна и Сосипатра Титовна выпили вдвоём 11 чашек, Поликсена Уваровна и Олимпиада Карповна – 15, а Сосипатра Титовна и Поликсена Уваровна – 14. Сколько чашек чая выпили все три купчихи вместе?

   Решение

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

   Решение

Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что  X + Y = 10²⁰⁰.  Доказать, что X делится на 50.

   Решение

Темы:    [ Десятичная система счисления ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Четность и нечетность ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Число Y получается из натурального числа X некоторой перестановкой его цифр. Известно, что  X + Y = 10²⁰⁰.  Доказать, что X делится на 50.

Решение

  Лемма. Пусть число Y получается из числа X некоторой перестановкой его цифр и  X + Y = 10^k.  Тогда оба числа X и Y кратны 5.
  Доказательство. Если X оканчивается нулем, то все очевидно. Пусть последняя цифра числа X не 0, тогда и последняя цифра числа Y – не 0. Набор цифр числа  Y – 1  отличается от набора цифр числа Y (а значит, и числа X) только в последней цифре a  (Y – 1  оканчивается на a, а Y – на  a + 1),  а сумма
X + (Y – 1) = 9...9.   Заметим, что для каждого  k = 0, 1, ..., 9  количество цифр k в числе X равно количеству цифр 9 – k  в числе  Y – 1  (каждой цифре k числа X можно поставить в соответствие цифру числа  Y – 1,  стоящую в том же разряде. В частности, количество цифр  9 – a  в числе X равно количеству цифр a в числе  Y – 1,  а значит, на единицу больше количества цифр a в числе X. С другой стороны, количество цифр a в числе X равно количеству цифр 9 – a  в числе  Y – 1.  Таким образом, количество цифр  9 – a  в числе X на единицу больше количества этих цифр в числе  Y – 1,  а значит,  9 – a = a + 1,  откуда  a = 4,  то есть последняя цифра числа X – это 5.

  Если число X не делится на 50, то одна из двух последних его цифр отлична от нуля. Если последняя цифра не равна нулю, то по лемме и X, и Y оканчиваются на 5. Следовательно, обозначив через X' и Y' числа, получающиеся из X и Y отбрасыванием последней цифры, получим  X' + Y' = 9...9  (199 девяток),   что невозможно (см. задачу 97958). Следовательно, X делится на 10. Применяя доказанную лемму к числам X' и Y', получаем, что X делится на 50.

Источники и прецеденты использования