Выбрано 7 задач 
Убрать все задачи
По окружности выписано 10 чисел, сумма которых равна 100. Известно, что сумма каждых трёх чисел, стоящих рядом, не меньше 29.
Укажите такое наименьшее число А, что в любом таком наборе чисел каждое из чисел не превосходит А.
n школьников хотят разделить поровну m одинаковых шоколадок, при этом каждую шоколадку можно разломить не более одного раза.
а) При каких n это возможно, если m = 9?
б) При каких n и m это возможно?
Для чисел а, b и с выполняется равенство . Следует ли из него, что
?
ABCD - вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. P - точка пересечения диагоналей.
Известен радиус описанной окружности R.
а) Найдите
AP2 + BP2 + CP2 + DP2.
б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника ABCD.
Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?
Лёша нарисовал геометрическую картинку, обведя четыре раза свой пластмассовый прямоугольный треугольник, прикладывая короткий катет к гипотенузе и совмещая вершину острого угла с вершиной прямого. Оказалось, что "замыкающий" пятый треугольник – равнобедренный (см. рис., равны именно отмеченные стороны). Найдите острые углы Лёшиного треугольника?
Доказать, что в круг радиуса 1 нельзя поместить без наложений два треугольника, площадь каждого из которых больше 1.
|
|
 |
Условие
Доказать, что в круг радиуса 1 нельзя поместить без наложений два треугольника,
площадь каждого из которых больше 1.
Решение
Предположим, что в круг радиуса 1 помещены два треугольника, площадь которых больше 1. Достаточно доказать, что оба треугольника содержат центр O круга. Докажем, что если треугольник ABC, помещённый в круг радиуса 1, не содержит центра круга, то его площадь меньше 1. В самом деле, для любой точки, лежащей вне треугольника, найдётся прямая, проходящая через две вершины и отделяющая эту точку от третьей вершины. Пусть для определённости прямая AB разделяет точки C и O. Тогда hc < 1 и AB < 2, поэтому S = hc . AB/2 < 1.
