Правильный многоугольник  A₁...A_n вписан в окружность радиуса R с центром O, X — произвольная точка.
Докажите, что   A₁X² + ... + A_nX² = n(R² + d²),  где  d = OX.

   Решение

Основания трапеции равны 8 и 2. Углы, прилежащие к большему основанию, равны по 45^o. Найдите объем тела, образованного вращением трапеции вокруг большего основания.

   Решение

Проанализируйте при помощи ним-сумм игру ``Йога'' из задачи 4.21.

   Решение

Найдите остаток от деления 3¹⁹⁸⁹ на 7.

   Решение

Биссектрисы AA₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Описанные окружности треугольников AIC₁ и CIA₁ повторно пересекают дуги AC и BC (не содержащие точек B и A соответственно) описанной окружности треугольника ABC в точках C₂ и A₂ соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂ и C₁C₂ пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Докажите, что при любых k и l многочлен g_k,l(x) является возвратным, то есть  
(Определение многочленов Гаусса см. здесь.)

   Решение

В каждой вершине выпуклого k-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке O внутри этого k-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме O, обладающей указанным свойством.

   Решение

Темы:    [ Выпуклые многоугольники ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В каждой вершине выпуклого k-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке O внутри этого k-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме O, обладающей указанным свойством.

Решение

По условию вершины k-угольника разбиты на пары {A_i, A_j} так, что точка O принадлежит каждому из отрезков A_iA_j. Более того, для любой другой пары {A_p, A_q} точки A_p и A_q лежат по разные стороны от прямой A_pA_q. Из этого следует, что по обе стороны от прямой A_iA_j лежит по точек (в частности, k чётно). Таким образом, O — точка пересечения "больших" диагоналей k-угольника, т.е. диагоналей A_iA_{i +} .

Источники и прецеденты использования