Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен P(x) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им k целых чисел n₁, n₂, ..., n_k и отдельно сообщит значение выражения  P(n₁)P(n₂)...P(n_k).  По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем k учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?

   Решение

На плоскости дано n3 точек. Пусть d — наибольшее расстояние между парами этих точек. Докажите, что имеется не более n пар точек, расстояние между которыми равно d.

   Решение

Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найдите острый угол и большее основание трапеции, если меньшее основание равно 3, а высота трапеции равна 2.

   Решение

Олег нарисовал пустую таблицу 50×50 и написал сверху от каждого столбца и слева от каждой строки по числу. Оказалось, что все 100 написанных чисел различны, причём 50 из них рациональные, а остальные 50 – иррациональные. Затем в каждую клетку таблицы он записал произведение чисел, написанных около её строки и её столбца ("таблица умножения"). Какое наибольшее количество произведений в этой таблице могли оказаться рациональными числами?

   Решение

Найти все такие натуральные n, для которых числа ¹/_n и ¹/_n+1 выражаются конечными десятичными дробями.

   Решение

Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Обыкновенные дроби ] [ Десятичные дроби ] [ Разложение на множители ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Найти все такие натуральные n, для которых числа ¹/_n и ¹/_n+1 выражаются конечными десятичными дробями.

Решение

  При  n > 1  должны выполняться равенства  2^k5^l = n  и  2^s5^t = n + 1.  Числа n и  n + 1  взаимно просты, поэтому есть только два варианта: либо
5^l + 1 = 2^s,  либо  2^k + 1 = 5^t.
  1)  2^s = 5^l + 1.  Тогда число  2^s  оканчивается на 6, поэтому  s = 4m.  Значит,  5^l = 2^4m – 1 = (2^2m – 1)(2^2m + 1).  Но числа  2^2m – 1  и  2^2m + 1  не могут одновременно делиться на 5.
  2)  2^k = 5^t – 1.  Если t чётно, то  5^t – 1  делится на  5² – 1 = 24  и не может быть степенью двойки.
   Если t нечётно, то  2^k = 5^t – 1 = 4(5^t–1 + 5^t–2 + ... + 1)  и второй множитель – сумма нечётного числа нечётных слагаемых, то есть нечётен. Значит,  t = 1.
  Это соответствует равенству  2² + 1 = 5.

Ответ

1 и 4.

Источники и прецеденты использования