Выбрано 8 задач 
Убрать все задачи
Остап Бендер организовал в городе Фуксе раздачу слонов населению. На раздачу явились 28 членов профсоюза и 37 не членов, причём Остап раздавал слонов поровну всем членам профсоюза и поровну – не членам. Оказалось, что существует лишь один способ такой раздачи (так, чтобы раздать всех слонов). Какое наибольшее число слонов могло быть у О. Бендера? (Предполагается, что каждому из пришедших достался хотя бы один слон.)
Прямоугольник разбили на несколько меньших прямоугольников. Могло ли оказаться, что для каждой пары полученных прямоугольников отрезок, соединяющий их центры, пересекает еще какой-нибудь прямоугольник?
Можно ли нарисовать на плоскости шесть точек
и так соединить их непересекающимися отрезками, что
каждая точка будет соединена ровно с четырьмя другими?
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A1,
B1 и C1. Отрезки BB1 и CC1, CC1 и AA1, AA1
и BB1 пересекаются в точках A2, B2 и C2 соответственно.
Докажите, что если
+
+
=
,
то
AB1 : B1C = CA1 : A1B = BC1 : C1A.
Докажите, что треугольник ABC является правильным
тогда и только тогда, когда при повороте на
60o (либо по
часовой стрелке, либо против) относительно точки A вершина B
переходит в C.
Докажите, что если ac - b2 = 0, то кривая Q(x, y) + 2dx + 2ey = f, где Q (x, y) = ax2 + 2bxy + cy2 изометрична либо кривой y2 = 2px (называемой параболой), либо паре параллельных прямых y2 = c2, либо паре слившихся прямых y2 = 0, либо представляет собой пустое множество.
Найти все двузначные числа, сумма цифр которых не меняется при умножении числа на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9.
Двадцать городов соединены 172 авиалиниями.
Доказать, что, используя эти авиалинии, можно из любого города перелететь в любой другой (быть может, делая пересадки).
|
|
 |
Условие
Двадцать городов соединены 172 авиалиниями.
Доказать, что, используя эти авиалинии, можно из любого города перелететь в любой другой (быть может, делая пересадки).
Решение
Предположим, что из города A недьзя попасть в город B. Пусть C – какой-то из оставшихся 18 городов. Тогда по крайней мере одна их двух авиалиний A–C, B–C отсутствует. Итого из возможных авиалиний отсутствуют не менее 19 (считая линию A–B), то есть линий не больше 171. Противоречие.
