Выбрано 12 задач 
Убрать все задачи
На книжной полке стоят 30 томов энциклопедии в некотором порядке. За одну операцию разрешается менять местами любые два соседних тома. За какое наименьшее число операций можно гарантированно выстроить все тома в правильном порядке (с первого по тридцатый слева направо) независимо от начального положения?
Жили-были двадцать шпионов. Каждый из них написал донос на десять своих коллег.
Докажите, что не менее, чем десять пар шпионов донесли друг на друга.
В прямоугольном треугольнике ABC (∠B = 90°) проведена высота BH. Окружность, вписанная в треугольник ABH, касается сторон AB, AH в точках H1, B1 соответственно; окружность, вписанная в треугольник CBH, касается сторон CB, CH в точках H2, B2 соответственно. Пусть O – центр описанной окружности треугольника H1BH2. Докажите, что OB1 = OB2.
В ориентированном графе 101 вершина. У каждой вершины число входящих и число выходящих рёбер равно 40.
Доказать, что из каждой вершины можно попасть в любую другую, пройдя не более чем по трём ребрам.
В стране есть n > 1 городов, некоторые пары городов соединены двусторонними беспосадочными авиарейсами. При этом между каждыми двумя городами существует единственный авиамаршрут (возможно, с пересадками). Мэр каждого города X подсчитал количество таких нумераций всех городов числами от 1 до n, что на любом авиамаршруте, начинающемся в X, номера городов идут в порядке возрастания. Все мэры, кроме одного, заметили, что их результаты подсчётов делятся на 2016. Докажите, что и у оставшегося мэра результат также делится на 2016.
В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ точки $K$, $L$, $M$, $N$ – середины сторон $BC$, $CD$, $DA$, $AB$ соответственно. Отрезки $AK$, $BL$, $CM$, $DN$, пересекаясь, делят друг друга на три части. Оказалось, что отношение длины средней части к длине всего отрезка одно и то же для всех четырех отрезков. Верно ли, что $ABCD$ – параллелограмм?
Средняя линия трапеции равна 10 и делит площадь трапеции в отношении 3:5. Найдите основания трапеции.
Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются
в точке P, причем
SABP2 + SCDP2 = SBCP2 + SADP2.
Докажите, что P — середина одной из диагоналей.
Сколько существует шестизначных чисел, у которых по три чётных и нечётных цифры?
Школьник едет на кружок на трамвае, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он обратно также поедет в трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (Примечание. Проезд в трамвае стоил 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)
Сколькими способами можно переставить буквы слова "ЭПИГРАФ" так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?
На листе бумаги отмечены точки A, B, C, D. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник ABCD прямоугольником?
|
|
 |
Условие
На листе бумаги отмечены точки A, B, C, D. Распознающее устройство может абсолютно точно выполнять два типа операций: а) измерять в сантиметрах расстояние между двумя заданными точками; б) сравнивать два заданных числа. Какое наименьшее число операций нужно выполнить этому устройству, чтобы наверняка определить, является ли четырёхугольник ABCD прямоугольником?
Решение
Чтобы определить, является ли ABCD прямоугольником, достаточно проверить равенства AB = CD, BC = AD и AC = BD — итого 9 операций (по 3 операции на каждое равенство: два измерения и одно сравнение). Прямоугольник ABCD будет квадратом, если AB = BC — для этого нужна ещё одна, 10-я, операция сравнения длин отрезков AB и BC. Докажем, что меньшим числом операций в обоих случаях не обойтись, т. е. что все указанные операции обязательно нужно выполнить. Действительно, если мы не знаем, что какие-то две противоположные стороны четырёхугольника равны, то нельзя даже утверждать, что ABCD — параллелограмм, ведь годится и равнобедренная трапеция (её диагонали равны). Поэтому проверка равенств AB = CD и BC = AD необходима. Если же мы не знаем, что AC = BD, то ABCD может быть произвольным параллелограммом. Значит, необходима и проверка равенства диагоналей. Наконец, в случае квадрата нужна также проверка равенства двух соседних сторон.
