Версия для печати
Убрать все задачи

---

Автомат при опускании гривенника выбрасывает пять двушек, а при опускании двушки – пять гривенников.
Может ли Петя, подойдя к автомату с одной двушкой, получить после нескольких опусканий одинаковое количество двушек и гривенников?

   Решение

---

На сторонах выпуклого четырёхугольника ABCD внешним образом построены подобные ромбы, причём их острые углы α прилегают к вершинам A и C. Докажите, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а угол между ними равен α.

   Решение

---

Позиционная система счисления. Докажите, что при q 2 каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

где 0 a₀,..., a_k < q

   Решение

---

Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.
Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что  A ⊂ B ⊂ C).

   Решение

---

Какое наибольшее количество прямоугольников 4*1 можно разместить в квадрате 6*6 (не нарушая границ клеток)?

   Решение

---

На конгресс собрались учёные, среди которых есть друзья. Оказалось, что каждые два из них, имеющие на конгрессе равное число друзей, не имеют общих друзей. Доказать, что найдётся учёный, который имеет ровно одного друга из числа участников конгресса.

   Решение

---

98 спичек разложили в 19 коробков и на каждом написали количество спичек в этом коробке. Может ли произведение этих чисел быть нечётным числом?

   Решение

---

Найдите формулу n-го члена для последовательностей, заданных условиями ( n 0):

a) a0 = 0, a1 = 1, an + 2 = 4an + 1 - 5an;

б) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 = 2an + 1 - 2an;

в) a0 = 1, a1 = 2, an + 2 + an + 1 + an = 0;

г) a0 = 1, a1 = 8, an + 2 = 6an + 1 + 25an.

   Решение

---

Докажите, что

   Решение

---

Докажите, что если  ∠BAC = 2∠ABC,  то   BC² = (AC + AB)·AC.

   Решение

---

Рассматривается последовательность  1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, ¹/₇, ...  Существует ли арифметическая прогрессия
  а) длины 5;
  б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?

   Решение

---

Пусть (1 + + )ⁿ = p_n + q_n + r_n + s_n (n 0). Найдите:

а) ;     б) ;     в) .

   Решение

---

Найдите все значения а, для которых выражения   а +   и   ¹/_а –   принимают целые значения.

   Решение

Темы:    [ Квадратные корни (прочее) ] [ Уравнения в целых числах ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите все значения а, для которых выражения   а +   и   ¹/_а –   принимают целые значения.

Решение

Пусть  a + = m,   ¹/_a – = n,  где m и n – целые числа. Тогда   (m – )(n + ) = 1  ⇔  (m – n) = 16 – mn.  Числа  16 – mn  и  m – n  являются целыми. Если  m ≠ n,  то число  ^16–mn/_m–n  рационально, значит, оно не может быть равно   .   Если  m = n,  то  16 – mn = 0,  следовательно,  m = n = ±4.

Ответ

а = ±4 – .

Источники и прецеденты использования