Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что растяжение плоскости является аффинным преобразованием.

   Решение

---

На рисунке изображен график функции  y = x² + ax + b.  Известно, что прямая AB перпендикулярна прямой  y = x.
Найдите длину отрезка OC.

   Решение

---

Увеличится или уменьшится сумма  ,  если все слагаемые в ней заменить на ¹/₁₅₀?

   Решение

---

Пусть A₁, B₁, C₁, D₁ — образы точек A, B, C, D при аффинном преобразовании. Докажите, что если = , то = .

   Решение

---

Докажите, что уравнение  x² + y² – z² = 1997  имеет бесконечно много решений в целых числах.

   Решение

---

Два концентрических круга поделены на 2k равных секторов. Каждый сектор выкрашен в белый или чёрный цвет. Доказать, что если белых и чёрных секторов на каждом круге одинаковое количество, то можно сделать такой поворот, что по крайней мере на половине длины окружности будут соприкасаться разноцветные куски.

   Решение

---

В трёхгранный угол, все плоские углы которого равны α , помещена сфера так, что она касается всех рёбер трёхгранного угла. Грани трёхгранного угла пересекают сферу по окружностям радиуса r . Найдите радиус сферы.

   Решение

Темы:    [ Сфера, касающаяся ребер или сторон пирамиды ] [ Касательные к сферам ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

В трёхгранный угол, все плоские углы которого равны α , помещена сфера так, что она касается всех рёбер трёхгранного угла. Грани трёхгранного угла пересекают сферу по окружностям радиуса r . Найдите радиус сферы.

Решение

Пусть сфера с центром O и радиусом R касается рёбер трёхгранного угла с вершиной P в точках A , B и C , а окружность радиуса r касается прямых AP и BP в точках A и B соответственно. Тогда

a = AB = 2r cos .
Рассмотрим правильную треугольную пирамиду PABC с вершиной P . Пусть PM – её высота, AB = BC = AC = a . Обозначим через ϕ угол между высотой PM и боковым ребром. Тогда
AP = , AM = a, sin ϕ = = sin ,

tg ϕ = = = .
Пусть O1 – центр окружности, вписанной в угол APB . Тогда O1A AP , поэтому по теореме о трёх перпендикулярах OA AP . Из прямоугольного треугольника AOP находим, что
R = AO = AP tg ϕ = · = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования