Версия для печати
Убрать все задачи

---

Угол при вершине A треугольника ABC равен 120^o. Окружность касается стороны BC и продолжений сторон AB и AC. Докажите, что расстояние от вершины A до центра окружности равно периметру треугольника ABC.

   Решение

---

В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CK из вершины прямого угла C, а в треугольнике ACK – биссектриса CE. Докажите, что  CB = BE.

   Решение

---

В колбе находится колония из n бактерий. В какой-то момент внутрь колбы попадает вирус. В первую минуту вирус уничтожает одну бактерию, и сразу же после этого и вирус, и оставшиеся бактерии делятся пополам. Во вторую минуту новые два вируса уничтожают две бактерии, а затем и вирусы, и оставшиеся бактерии снова делятся пополам, и т.д. Наступит ли такой момент времени, когда не останется ни одной бактерии?

   Решение

---

Фазовая плоскость Opq разбивается параболой  p² – 4q = 0  и прямыми  p + q + 1 = 0,  – 2p + q + 4 = 0  на несколько областей. Для точек каждой области укажите, сколько корней имеет соответствующий им многочлен  x² + px + q = 0  на интервале  (– 2, 1).

   Решение

---

Докажите, что если в четырехугольнике два противоположные угла тупые, то диагональ, соединяющая вершины этих углов, меньше другой диагонали.

   Решение

---

На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что  ∠AEC = 90°.  Точки O₁ и O₂ – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O₁O₂. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.

   Решение

---

Докажите, что любое натуральное число можно представить в виде  3^u₁2^v₁ + 3^u₂2^v₂ + ... + 3^u_k2^v_k,  где  u₁ > u₂ > ... > u_k ≥ 0  и  0 ≤ v₁ < v₂ < ... < v_k  – целые числа.

   Решение

---

По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

   Решение

---

Переложите пирамиду из 10 кубиков (см. рисунок) так, чтобы её форма осталась прежней, но каждый кубик соприкасался только с новыми кубиками.

   Решение

Темы:    [ Куб ] [ Перестройки ]

Сложность: 2 Классы: 5,6,7,8

Прислать комментарий

Условие

Переложите пирамиду из 10 кубиков (см. рисунок) так, чтобы её форма осталась прежней, но каждый кубик соприкасался только с новыми кубиками.

Подсказка

Подумайте, какие кубики можно поставить в центр пирамиды, какие  — в вершины.

Решение

Заметим следующее: кубик, стоящий в центре, соприкасается с шестью кубиками; кубики, стоящие в вершинах,  — с двумя; а кубики, стоящие на сторонах треугольника,  — с четырьмя. Отсюда сразу можно заключить, что при новой перекладке кубик из центра может попасть только в вершину, а в центр, наоборот,  — только из вершины. Для определённости, пусть в центр попадёт кубик 1, а кубик 5  — в верхнюю вершину. Тогда на место кубиков 2 и 3 могут лечь только кубики 7 и 10, поскольку остальные кубики уже соприкасались с кубиком 5 (рис. 1). В нижние вершины должны лечь кубики 2 и 3. Расположение остальных кубиков определим перебором. Окончательный вариант показан на рис. 2.

Заметим, что уже имея одно решение, можжно получить ещё несколько. Вопервых, пирамиду можно поворачивать на 120^o, что даст ещё два решения. Вовторых, её можно симметрично отражать относительно медианы верхней вершины  — при этом число решений удваивается. Кроме того, напомним, что в самом начале в качестве центрального кубика мы взяли 1, хотя могли взять 1, 7 или 10, и это даст утроение общего количества ответов. Таким образом, из приведённого на рис. 2 решения можно получить ещё 17.

Ответ

 См. рисунок справа.

Источники и прецеденты использования