Правильный многоугольник  A₁...A_n вписан в окружность радиуса R с центром O, X — произвольная точка.
Докажите, что   A₁X² + ... + A_nX² = n(R² + d²),  где  d = OX.

   Решение

Основания трапеции равны 8 и 2. Углы, прилежащие к большему основанию, равны по 45^o. Найдите объем тела, образованного вращением трапеции вокруг большего основания.

   Решение

Проанализируйте при помощи ним-сумм игру ``Йога'' из задачи 4.21.

   Решение

Найдите остаток от деления 3¹⁹⁸⁹ на 7.

   Решение

Биссектрисы AA₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Описанные окружности треугольников AIC₁ и CIA₁ повторно пересекают дуги AC и BC (не содержащие точек B и A соответственно) описанной окружности треугольника ABC в точках C₂ и A₂ соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂ и C₁C₂ пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Докажите, что при любых k и l многочлен g_k,l(x) является возвратным, то есть  
(Определение многочленов Гаусса см. здесь.)

   Решение

В каждой вершине выпуклого k-угольника находится охотник, вооруженный лазерным ружьем. Все охотники одновременно выстрелили в зайца, сидящего в точке O внутри этого k-угольника. В момент выстрела заяц пригибается, и все охотники погибают. Доказать, что нет другой точки, кроме O, обладающей указанным свойством.

   Решение

Решить уравнение  x⁸ + 4x⁴ + x² + 1 = 0.

   Решение

Тема:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ]

Сложность: 2 Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Решить уравнение  x⁸ + 4x⁴ + x² + 1 = 0.

Решение

Так как степени неизвестного во всех слагаемых чётные, то выражение слева всегда не меньше 1 и, следовательно, не равно нулю.

Ответ

Нет решений.

Источники и прецеденты использования