Решите в натуральных числах уравнение  (1 + n^k)^l = 1 + n^m,  где  l > 1.

   Решение

На экране компьютера напечатано некоторое натуральное число, кратное 7, и отмечен курсором промежуток между какими-то двумя его соседними цифрами.
Докажите, что существует такая цифра, что если её впечатать в отмеченный промежуток любое число раз, получится число, делящееся на 7.

   Решение

Касательная в точке B к описанной окружности S треугольника ABC пересекает прямую AC в точке K. Из точки K проведена вторая касательная KD к окружности S. Докажите, что BD — симедиана треугольника ABC.

   Решение

Докажите для каждого натурального числа  n > 1  равенство:   [n^1/2] + [n^1/3] + ... + [n^1/n] = [log₂n] + [log₃n] + ... + [log_nn].

   Решение

Темы:    [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Подсчет двумя способами ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ] [ Раскладки и разбиения ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите для каждого натурального числа  n > 1  равенство:   [n^1/2] + [n^1/3] + ... + [n^1/n] = [log₂n] + [log₃n] + ... + [log_nn].

Решение

  Добавим к обеим частям по n. Докажем, что в полученном равенстве обе части равны количеству пар  (k, m)  натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству  k^m ≤ n.
  Действительно, целая часть числа  a ≥ 1  равна количеству натуральных чисел, меньших или равных a. Поэтому
    [n^1/m] – количество пар  (k, m),  для которых  k^m ≤ n,
    [log_kn] – количество пар  (k, m),  для которых  k^m ≤ n.

Замечания

баллы: 15

Источники и прецеденты использования