Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Постройте график. Постройте график функции y = 3x + |5x − 10|.
ABCDE — правильный пятиугольник. Tочка B' симметрична точке B относительно прямой AC (см. рисунок). Mожно ли пятиугольниками, равными AB'CDE, замостить плоскость?
Дан остроугольный треугольник ABC. Прямая, параллельная BC, пересекает стороны AB и AC в точках M и P соответственно. При каком расположении точек M и P радиус окружности, описанной около треугольника BMP, будет наименьшим?
У каждого из жителей города N знакомые составляют не менее 30 населения города. Житель идет на выборы, если баллотируется хотя бы один из его знакомых. Докажите, что можно так провести выборы мэра города N из двух кандидатов, что в них примет участие не менее половины жителей.
а) В треугольнике ABC, длины сторон которого
рациональные числа, проведена высота BB1. Докажите, что
длины отрезков AB1 и CB1 — рациональные числа.
б) Длины сторон и диагоналей выпуклого четырехугольника — рациональные числа. Докажите, что диагонали разрезают его на четыре
треугольника, длины сторон которых — рациональные числа.
Даны два двузначных числа – X и Y. Известно, что X вдвое больше Y, одна цифра числа Y равна сумме, а другая – разности цифр числа X.
Найти эти числа.
|
|
 |
Условие
Даны два двузначных числа – X и Y. Известно, что X вдвое больше Y, одна цифра числа Y равна сумме, а другая – разности цифр числа X.
Найти эти числа.
Решение
Пусть a – первая цифра числа X, а b – вторая. Первая цифра числа Y меньше a, поэтому она равна |a – b|, а вторая цифра равна a + b. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ 1. Разберём 2 случая.
1) 10a + b = 20(a – b) + 2(a + b). Тогда 12a = 19b, что невозможно: a не делится на 19.
2) 10a + b = 20(b – a) + 2(a + b). Тогда 28a = 21b, то есть 4a = 3b, и осталось проверить числа 68 и 34.
Второй способ. Сравнивая последние цифры чисел X и Y, заметим, что 2(a + b) ≡ b (mod 10). Значит, 2a + b кратно 10. Поскольку a + b < 10, то
2a + b = 10. Осталось проверить числа 18, 26, 34, 42, 50.
Ответ
34 и 17.
Замечания
3 балла
