Выбрано 6 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов одна биссектриса в два раза короче другой.
В таблице 2005×2006 расставлены числа 0, 1, 2 так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке делится на 3.
Какое наибольшее возможное количество единиц может быть в этой таблице?
Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты, AC > AB. На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что AB = AE = BD.
Докажите, что треугольник ADE прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника ABC относятся как 3 : 4 : 5.
В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE.
Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.
В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира
оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.
Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.
Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?
|
|
 |
Условие
Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?
Решение
Рассмотрим такой набор равнобедренных треугольников, что высота каждого следующего в 200 раз больше диаметра предыдущего, а его площадь в 20000 раз меньше площади предыдущего. Разделим один из треугольников на 200 частей 199 отрезками, параллельными основанию и делящими высоту на равные части. Каждый треугольников с меньшим номером может пересекаться не более чем с двумя из этих частей, значит, по крайней мере две части (не менее 1/10000 площади) полностью свободны от них. Но сумма площадей треугольников с большим номером меньше указанной величины.
Ответ
Существуют.
Замечания
3 балла
