Выбрано 15 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что в прямоугольном треугольнике с углом $30$ градусов одна биссектриса в два раза короче другой.
В таблице 2005×2006 расставлены числа 0, 1, 2 так, что сумма чисел в каждом столбце и в каждой строке делится на 3.
Какое наибольшее возможное количество единиц может быть в этой таблице?
Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты, AC > AB. На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что AB = AE = BD.
Докажите, что треугольник ADE прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника ABC относятся как 3 : 4 : 5.
В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE.
Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.
В футбольном турнире в один круг участвовало 28 команд. По окончании турнира
оказалось, что более ¾ всех игр закончилось вничью.
Докажите, что какие-то две команды набрали поровну очков.
Существуют ли такие 100 треугольников, ни один из которых нельзя покрыть 99 остальными?
Имеется 25 кусков сыра разного веса. Всегда ли можно один из этих кусков разрезать на две части и разложить сыр в два пакета так, что части разрезанного куска окажутся в разных пакетах, веса пакетов будут одинаковы и число кусков в пакетах также будет одинаково?
Числа 1, 2, 3, ..., 25 расставляют в таблицу 5×5 так, чтобы в каждой строке числа были расположены в порядке возрастания.
Какое наибольшее и какое наименьшее значение может иметь сумма чисел в третьем столбце?
Докажите, что произведение всех целых чисел от 21917 + 1 до 21991 – 1 включительно не есть квадрат целого числа.
Докажите неравенство
Можно ли нарисовать на плоскости четыре красных и четыре чёрных точки так, чтобы для каждой тройки точек одного цвета нашлась такая точка другого цвета, что эти четыре точки являются вершинами параллелограмма?
Последовательность натуральных чисел a1, a2, ..., an, ... такова, что для каждого n уравнение an+2x² + an+1x + an = 0 имеет действительный корень. Может ли число членов этой последовательности быть
а) равным 10;
б) бесконечным?
Квадрат разрезали на 25 квадратиков, из которых ровно у одного сторона имеет длину, отличную от 1 (у каждого из остальных сторона равна 1).
Найдите площадь исходного квадрата.
Существует ли такое N и такие N – 1 бесконечных арифметических прогрессий с разностями 2, 3, 4, ..., N, что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий?
Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
3) среди чисел нет равных;
4) все числа не больше 1991?
|
|
 |
Условие
Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
3) среди чисел нет равных;
4) все числа не больше 1991?
Решение
Как и в задаче 98107, построим греко-латинский квадрат 9×9 (см. рис.). В нём:
1) каждая клетка содержит по одной латинской и по одной греческой букве;
2) в каждой строке и в каждом столбце все буквы различны;
3) в каждых двух разных клетках пары букв различны.
Поставим в соответствие выбранным буквам восемнадцать попарно различных попарно взаимно простых чисел и запишем в таблице вместо пары букв произведение соответствующих чисел. Произведение всех чисел каждого столбца и каждой строки будет равно произведению всех восемнадцати чисел. Если взять, например, a = 1, b = 2, c = 3, d = 5, e = 7, f = 11, g = 13, h = 17, i = 19, α = 23, β = 29, γ = 31, δ = 37, ε = 41, ζ = 43, η = 47, θ = 53, ι = 59, то все числа в таблице будут различны, а максимальное число iι = 19·59 = 1121.
Ответ
Можно.
Замечания
1. Максимальное число можно сильно уменьшить. Например, если взять a = α = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5, f = 6, g = 7, h = 8, i = 9, β = 10, γ = 11,
δ = 13, ε = 17, ζ = 19, η = 21, θ = 23, ι = 29, то максимальное число будет равно 9·29 = 261 (а числа в таблице останутся разными).
2. В отличие от задачи 98107 греко-латинский квадрат здесь построить просто: каждая следующая "латинская" строка получается из предыдущей циклическим сдвигом на единицу влево, а каждая "греческая" – сдвигом на единицу вправо.
3. 8 баллов.
