Задача 98172

Темы:    [ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ] [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Задачи на движение ] [ Связность. Связные множества ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Кондаков Г.В.

Ширина реки один километр. Это по определению означает, что от любой точки каждого берега можно доплыть до противоположного берега, проплыв не больше километра. Может ли катер проплыть по реке так, чтобы в любой момент расстояние до любого из берегов было бы не больше:
  а) 700 м?
  б) 800 м?
(Берега состоят из отрезков и дуг окружностей.)

Решение

  а) Контрпример приведён на рисунке.

  Здесь  AC = 1000 м,  AB > 1400 м,  CD = 1 м.  Маршрут корабля должен пересекать отрезок AB, но расстояние от любой точки AB до одного из берегов больше 700 м.

  б) Построим такой маршрут. Выберем часть плоскости по одну сторону от правого берега, содержащую левый берег, и рассмотрим множество точек, удалённых от правого берега не более чем на 800 м. Построить его можно так: возьмём красящий круг радиусом 800 м и протащим его центр вдоль правого берега. Тогда круг закрасит полосу, граница которой тянется вдоль реки (обозначим эту границу через L).
  Если L вся идёт по суше, то левый берег даст искомый маршрут. Если L – вся на воде, то рассмотрим L в качестве маршрута. Если L пересекает левый берег, то участки L вне реки заменим участками левого берега и рассмотрим полученный маршрут. Каждая точка такого маршрута отстоит от правого берега не больше чем на 800 м. Докажем, что и от левого берега тоже.
  Допустим, что это неверно, то есть найдётся точка на маршруте, удалённая от левого берега больше чем на 800 м. Тогда круг с центром в этой точке и радиусом 800 м целиком лежит на воде (кроме одной или нескольких точек правого берега на окружности). Докажем, что тогда найдётся точка на одном из берегов, расстояние от которой до другого берега больше 1000 м.
  Рассмотрим множество лучей с началом в центре O этого круга и покрасим их в два цвета: в синий, если первое пересечение луча происходит с правым берегом, и в красный – если с левым. Соответственно покрасим точки окружности. Покажем, что найдётся одноцветная дуга окружности величиной не меньше 180°. Для этого докажем, что окружность состоит не больше чем из двух разноцветных дуг.

  Допустим, что это неверно и разноцветных дуг больше двух. Поскольку дуги чередуются, то их чётное число. Возьмём по одной точке на четырёх соседних дугах: красную К'₁, синюю С'₁, красную К'₂, синюю С'₂, и соответствующие им точки первого пересечения лучей с берегами: К₁, С₁, К₂, С₂ (рис. слева).
  Береговая линия между К₁ и К₂ должна пересекать один из лучей OС₁, OС₂ (пусть ОС₁), причём дальше от центра, чем С₁. Рассмотрим контур, состоящий из береговой линии между К₁ и К₂ и отрезков OК₁ и OК₂. Этот контур разделяет точки С₁ и С₂, поэтому береговая линия между С₁ и С₂ должна его пересечь, но это невозможно (поскольку берега не пересекаются и есть правило раскраски). Следовательно, дуг ровно две, так как из точки О видны оба берега, а тогда найдётся одноцветная дуга (пусть красная) не меньше 180°.
  Возьмём концы этой дуги К'₁, К'₂, её середину К'₃ и соответствующие точки берега К₁, К₂, К₃ (рис. справа).
  Построим контур, состоящий из береговой линии между К₁ и К₂ и отрезков OК₁ и OК₂. Кратчайший путь от К₃ до другого берега пересекает один из отрезков OК₁, OК₂. Следовательно, этот путь будет виден из точки O под углом не меньше 90°, но такой путь с концами вне круга будет не короче   800 > 1000 м.  Это противоречит условию.
  Итак, круг с центром на указанном маршруте радиусом 800 м поместить между берегами невозможно, поэтому всегда будет точка левого берега, отстоящая от указанного маршрута меньше чем на 800 м.

Ответ

а) Не всегда;  б) всегда.

Замечания

  1.Баллы: 8-9 кл. – 4 + 4, 10-11 кл. – 3 + 3.

  2. На Московской олимпиаде в условии были дополнительные уточнения:
    1) Известно, что река соединяет два круглых озера радиусом 10 километров каждое. Корабль следует считать точкой.
    2) Считайте, что островов на реке нет.
    3) Расстояние от точки на реке до берега понимается как длина кратчайшего пути по воде.
  Без уточнения 1) в вышеизложенном решении возникает техническая трудность: луч, выпущенный из точки O, может вообще не пересекать берегов.
  Уточнение 2) существенно: при наличии острова утверждение неверно.

  3. Более строгое решение и обсуждение связанных с этим проблем см. в в кн. "Московские математические олимпиады 1993–2005 г.", Дополнение Б.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1992/1993
Номер	14
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер	6
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1992/1993
Номер	14
вариант
Вариант	весенний тур, основной вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	6
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	56
Год	1993
вариант
Класс	10
задача
Номер	3