Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Внутри параллелограмма $ABCD$ взята такая точка $P$, что ∠$PDA$ = ∠$PBA$. Пусть Ω – вневписанная окружность треугольника $PAB$, лежащая против вершины $A$, а ω – вписанная окружность треугольника $PCD$. Докажите, что одна из общих касательных к Ω и ω параллельна $AD$.
Существует ли в пространстве куб, расстояния от вершин которого до данной плоскости равны 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
В ряд выписаны несколько нулей и единиц. Рассмотрим пары цифр в этом ряду (не только соседних), где левая цифра равна 1, а правая 0. Пусть среди этих пар ровно M таких, что между единицей и нулем этой пары стоит чётное число цифр, и ровно N таких, что между единицей и нулем этой пары стоит нечётное число цифр. Докажите, что M ≥ N.
При каком наименьшем $k$ среди любых трёх ненулевых действительных чисел можно выбрать такие два числа $a$ и $b$, что |$a - b$| ≤ $k$ или |1/a – 1/b| ≤ $k$?
Дано n чисел, p – их произведение. Разность между p и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные n чисел иррациональны.
|
|
 |
Условие
Дано n чисел, p – их произведение. Разность между p и каждым из этих чисел – нечётное число. Докажите, что все данные n чисел иррациональны.
Решение
Пусть x – одно из этих n чисел, x + b1, x + b2, ..., x + bn–1 – остальные и p = x(x + b1)(x + b2)...(x + bn–1) = x + c, (*)
где, по условию, c нечётно, а b1, b2, ..., bn–1 чётны, поскольку bi = (p – x) – (p – (x + bi)) – разность двух нечётных чисел. Равенство (*) можно записать, раскрыв скобки, в виде xn + a1xn–1 + a2xn–2 + ... + an–2x² + an–1x – c = 0, (**)
где a1, ..., an–2 чётны, а an–1 = b1b2...bn–1 – 1 и c нечётны. Согласно задаче 61013 все рациональные корни этого уравнения – целые. Но целым x быть не может: при целом x левая часть нечётна. Следовательно, число x иррационально.
Замечания
5 баллов
