Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 118]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
|
На прямой имеется
2
n+1
отрезок. Любой отрезок пересекается по крайней мере с
n другими. Докажите, что существует отрезок, пересекающийся со всеми
остальными.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10
|
На вечеринку пришли 100 человек. Затем те, у кого не было знакомых среди
пришедших, ушли. Затем те, у кого был ровно один знакомый среди оставшихся, тоже ушли. Затем аналогично поступали те, у кого было ровно 2, 3, 4, ..., 99 знакомых среди оставшихся к моменту их ухода.
Какое наибольшее число людей могло остаться в конце?
Дано натуральное число n > 1. Для каждого делителя d числа n + 1, Петя разделил число n на d с остатком и записал на доску неполное частное, а в тетрадь – остаток. Докажите, что наборы чисел на доске и в тетради совпадают.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
На столе лежит куча из более чем n² камней. Петя и Вася по очереди берут камни из кучи, первым берёт Петя. За один ход можно брать любое простое число камней, меньшее n, либо любое кратное n число камней, либо один камень. Докажите, что Петя может действовать так, чтобы взять последний камень независимо от действий Васи.
На доске написали 100 попарно различных натуральных чисел a1, a2, ..., a100. Затем под каждым числом ai написали число bi, полученное прибавлением к ai наибольшего общего делителя остальных 99 исходных чисел. Какое наименьшее количество попарно различных чисел может быть среди b1, b2, ..., b100?
Страница:
<< 7 8 9 10
11 12 13 >> [Всего задач: 118]
Все авторы
>>
Берлов С.Л. 
