ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Кушниренко А.Г.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: 1 [Всего задач: 4]      



Задача 98078

Темы:   [ Системы точек ]
[ Соображения непрерывности ]
[ Теорема о промежуточном значении. Связность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На плоскости расположено 20 точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой, из них 10 синих и 10 красных.
Докажите, что можно провести прямую, по каждую сторону которой лежит 5 синих и 5 красных точек.

 
Прислать комментарий     Решение

Задача 78761

Темы:   [ Деление с остатком ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11

Имеется натуральное число  n > 1970.  Возьмём остатки от деления числа 2n на 2, 3, 4, ..., n. Доказать, что сумма этих остатков больше 2n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78758

Темы:   [ Площадь сферы и ее частей ]
[ Описанные многогранники ]
Сложность: 6-
Классы: 10,11

Около сферы радиуса 10 описан некоторый 19-гранник. Доказать, что на его поверхности найдутся две точки, расстояние между которыми больше 21.
Прислать комментарий     Решение


Задача 73610

Темы:   [ Обходы многогранников ]
[ Параллельное проектирование (прочее) ]
[ Выпуклые тела ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Процессы и операции ]
Сложность: 6+
Классы: 10,11

а) Сумма длин рёбер любого выпуклого многогранника больше утроенного диаметра. Докажите это. (Диаметром многогранника называют наибольшую из длин всевозможных отрезков с концами в вершинах многогранника.)

б) Для любых двух вершин A и B любого выпуклого многогранника существуют три ломаные, каждая из которых идёт по рёбрам многогранника из А в В и никакие две не проходят по одному ребру. Докажите это.

в) Если в выпуклом многограннике разрезать два ребра, то для любых двух его вершин А и В существует соединяющая эти две вершины ломаная, идущая по оставшимся рёбрам. Докажите это.

г) Докажите, что в задаче б) можно выбрать три ломаные, никакие две из которых не имеют общих вершин, за исключением точек А и В.
Прислать комментарий     Решение


Страница: 1 [Всего задач: 4]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .