ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]
Известно, что корни уравнения x² + px + q = 0 – целые числа, а p и q – простые числа. Найдите p и q. РешениеПусть x1 и x2 – корни нашего квадратного трёхчлена. По условию p и q – положительные числа, поэтому оба корня отрицательны. Так как корни целые, a q – простое, то один из корней (пусть x1) равен –1. Отсюда x2 = – q, –1 – q = – p, то есть p – q = 1. Значит, p и q – два простых числа, отличающиеся на 1. Такая пара чисел всего одна: p = 3, q = 2 (единственное чётное простое число). Ответр = 3, q = 2.
На параболе y = x² выбраны четыре точки A, B, C, D так, что прямые AB и CD пересекаются на оси ординат. РешениеПусть l – ордината точки пересечения прямых AB и CD. Тогда прямая AB задается уравнением вида y = kx + l, поэтому числа a, b являются корнями уравнения x² – kx – l = 0. По теореме Виета их произведение равно – l. Аналогично произведение абсцисс точек C и D равно – l, и, следовательно, абсцисса точки D равна ab/c. Ответab/c.
Существуют ли такие три числа, что если их поставить в одном порядке в качестве коэффициентов квадратного трёхчлена, то он имеет два положительных корня, а если в другом – два отрицательных? РешениеЕсли оба корня трёхчлена ax² + bx + c положительны, то b и a – разных знаков. Если же оба корня отрицательны, то все три коэффициента одного знака. Поэтому такой трёхчлен перестановкой коэффициентов первого получить нельзя. ОтветНе существуют.
При каких значениях c числа sin α и cos α являются корнями квадратного уравнения 5x² – 3x + c = 0 (α – некоторый угол)? Решение По теореме Виета sin α + cos α = 0,6. Тогда 1 + 2sin α cos α = (sin α + cos α)² = 0,36. Следовательно, c = 5sin α cos α = – 1,6. ОтветПри c = – 1,6.
P(x) и Q(x) – приведённые квадратные трёхчлены, имеющие по два различных корня. Оказалось, что сумма двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена P(x) в трёхчлен Q(x), равна сумме двух чисел, получаемых при подстановке корней трёхчлена Q(x) в трёхчлен P(x). Докажите, что дискриминанты трёхчленов P(x) и Q(x) равны. РешениеПусть a1 и a2 – корни трёхчлена P(x), а b1 и b2 – корни трёхчлена Q(x). Первый способ. P(x) = (x – a1)(x – a2), Q(x) = (x – b1)(x – b2). Поэтому (b1 – a1)(b1 – a2) + (b2 – a1)(b2 – a2) =
(a1 – b1)(a1 – b2) + (a2 –
b1)(a2 – b2). Перенося все слагаемые в одну часть, получаем (b1 – a1)(b1 – a2 + a1 – b2) + (b2 – a2)(b2 – a1 + a2 – b1) = 0, то есть Второй способ. Пусть P(x) = x² + px + r, Q(x) = x² + qx + s. Тогда
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79] |
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|