Каталог по темам

Задачи

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 323]

Задача 30825

Темы:	[	Ориентированные графы	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В некоторой стране каждый город соединён с каждым дорогой с односторонним движением.
Докажите, что найдётся город, из которого можно добраться в любой другой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35538

Темы:	[	Покрытия	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Несколько отрезков покрывают отрезок [0, 1].
Докажите, что среди них можно выбрать несколько непересекающихся отрезков, сумма длин которых не меньше ½.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60741

Темы:	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

С помощью индукции докажите следующее утверждение, эквивалентное малой теореме Ферма: если p – простое число, то для любого натурального a справедливо сравнение a^p ≡ a (mod p).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60872

Темы:	[	Доказательство тождеств. Преобразования выражений	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите следующие равенства:
а) $\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{6}}}}}_{\mbox{$10$ радикалов}}^{}\,$ = $\sqrt[1024]{2+\sqrt{3}}$ + $\sqrt[1024]{2-\sqrt{3}}$ ;
б) $\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\ldots+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}_{\mbox{$n$ радикалов}}^{}\,$ = 2 cos ${\dfrac{\pi}{2^{n+1}}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61453

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что при всех натуральных n число f (n) = 2^2n–1 – 9n² + 21n – 14 делится на 27.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 323]