Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]

Задача 58240

Тема:

[

Свойства частей, полученных при разрезаниях

]

Сложность: 5+
Классы: 8,9

Треугольник, все углы которого не превосходят 120^o, разрезан на несколько треугольников. Докажите, что хотя бы у одного из полученных треугольников все углы не превосходят 120^o.

Прислать комментарий Решение

Задача 79308

Темы:	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Сумма внутренних и внешних углов многоугольника	]
	[	Невыпуклые многоугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Можно ли какой-нибудь выпуклый многоугольник разрезать на конечное число невыпуклых четырёхугольников?

Прислать комментарий Решение

Задача 79363

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 8

Квадрат разрезан на прямоугольники.
Доказать, что сумма площадей кругов, описанных около каждого прямоугольника, не меньше площади круга, описанного около квадрата.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78488

Темы:	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Разрезания (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Каждое ребро правильного тетраэдра разделено на три равные части. Через каждую полученную точку деления проведены две плоскости, параллельные соответственно двум граням тетраэдра, не проходящим через эту точку. На сколько частей построенные плоскости разбивают тетраэдр?

Прислать комментарий Решение

Задача 58175

Темы:	[	Эйлерова характеристика	]
Темы:	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]

Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11

Выпуклый многоугольник разрезан на p треугольников так, что на их сторонах нет вершин других треугольников. Пусть n и m — количества вершин этих треугольников, лежащих на границе исходного многоугольника и внутри его.
а) Докажите, что p = n + 2m - 2.
б) Докажите, что количество отрезков, являющихся сторонами полученных треугольников, равно 2n + 3m - 3.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 28]