Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 109]      

На окружности заданы две точки A и B. Проводятся всевозможные пары окружностей, касающихся внешним образом друг друга и касающихся внешним образом данной окружности в точках A и B. Какое множество образуют точки взаимного касания этих пар окружностей?

Прислать комментарий

Решение

Через вершины треугольника ABC проводятся три произвольные параллельные прямые d_a, d_b, d_c. Прямые, симметричные d_a, d_b, d_c относительно BC, CA, AB соответственно, образуют треугольник XYZ. Найдите геометрическое место центров вписанных окружностей таких треугольников.

Прислать комментарий

Решение

Пусть AD и AE — биссектрисы внутреннего и внешнего углов треугольника ABC и S_a — окружность с диаметром DE, окружности S_b и S_c определяются аналогично. Докажите, что:
а) окружности S_a, S_b и S_c имеют две общие точки M и N, причем прямая MN проходит через центр описанной окружности треугольника ABC;
б) проекции точки M (и точки N) на стороны треугольника ABC образуют правильный треугольник.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что изодинамические центры лежат на прямой KO, где O — центр описанной окружности, K — точка Лемуана.

Прислать комментарий

Решение

Треугольник ABC правильный, M — некоторая точка. Докажите, что если числа AM, BM и CM образуют геометрическую прогрессию, то знаменатель этой прогрессии меньше 2.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 7 8 9 10 11 12 13 >> [Всего задач: 109]