Страница:
<< 8 9 10 11
12 13 14 >> [Всего задач: 112]
|
|
|
Сложность: 2+
Классы: 10,11
|
Докажите следующие свойства функций gk,l(x)
(определения функций gk,l(x)
смотри здесь):
а) gk,l(x) = 
, где hm(x) = (1 – x)(1 – x²)...(1 – xm) (h0(x) = 1);
б) gk,l(x) = gl,k(x);
в) gk,l(x) = gk–1,l(x) + xkgk,l–1(x) = gk,l–1(x) + xlgk–1,l(x);
г) gk,l+1(x) = g0,l(x) + xg1,l(x) + ... + xkgk,l(x);
д) gk,l(x) – многочлен степени kl.
Многочлены gk,l(x) называются многочленами Гаусса. Их свойства во многом аналогичны свойствам биномиальных
коэффициентов. В частности, среди многочленов они играют ту же роль, что и биномиальные коэффициенты среди чисел.
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
В последовательности цифр 1234096... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр.
Встретятся ли в этой последовательности подряд четыре цифры 8123?
|
[Числа Евклида]
|
|
Сложность: 3
Классы: 7,8,9
|
Евклидово доказательство бесконечности множества простых чисел наводит на мысль определить рекуррентно числа Евклида:
e1 = 2, en = e1e2...en–1 + 1 (n ≥ 2). Все ли числа en являются простыми?
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
|
Последовательность чисел {
an} задана
условиями
a1 = 1,
an + 1 =
an +
(
n 
1).
Верно ли, что эта
последовательность ограничена?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
|
a1 = a2 = 1, an+1 = anan–1 + 1. Доказать, что an не делится на 4.
Страница:
<< 8 9 10 11
12 13 14 >> [Всего задач: 112]
Тема:
Все темы
>>
Алгебра и арифметика
>>
Последовательности
>>
Рекуррентные соотношения
>>
Рекуррентные соотношения (прочее)
