Задача 109841

Темы:    [ Биссектриса делит дугу пополам ] [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Емельянов Л.А.

Биссектрисы BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B₁C₁ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и N.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.

Решение

  Пусть биссектрисы AI, BI, CI пересекают описанную окружность в точках A₀, B₀ и C₀ соответственно. Точки B₀ и C₀ являются соответственно серединами дуг AC и AB.
  Проведём через A прямую, параллельную B₀C₀, пересекающую биссектрисы в точках I_B и I_C (см. рис.).

  Имеем  ∠AIB₀ = ∠ABI + ∠BAI = ∠ABB₀ + ∠BAA₀ = ∠B₀BC + ∠CAA₀ = ∠B₀AI,  поэтому треугольник B₀AI – равнобедренный  (B₀A = BI).  Аналогично
C₀A = CI,  поэтому треугольники B₀AC₀ и B₀IC₀ равны.
  Отрезок B₀C₀ является серединным перпендикуляром к AI, а AI – высота треугольника II_BI_C. Отсюда следует, что B₀C₀ – средняя линия треугольника I_BII_C.
  Получаем следующие равенства для радиусов описанных окружностей: R(I_BII_C) = 2R(B₀IC₀) = 2R(B₀AC₀) = 2R(ABC).
  Теперь достаточно доказать, что точки M и N лежат на описанной окружности треугольника I_BII_C.
  Заметим, что  ∠AI_BI = ∠C₀B₀I = ∠C₀B₀A = ∠C₀CA = ∠ ICA,  значит, точки A, I, C, I_B лежат на одной окружности, откуда  B₁A·B₁C = B₁I·B₁I_B.  С другой стороны,  B₁A·B₁C = B₁M·B₁N,  так как точки A, M, C, N лежат на одной окружности.
  Следовательно,   B₁M· B₁N = B₁I·B₁I_B,  и точка I_B лежит на описанной окружности треугольника IMN. Аналогично на ней лежит точка I_C.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	5
Класс
Класс	11
задача
Номер	06.5.11.4