ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110187
Темы:    [ Биссектриса делит дугу пополам ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  ( AB < BC)  точка I – центр вписанной окружности, M – середина стороны AC, N – середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что  ∠IMA = ∠INB.


Решение

  Пусть NP – диаметр описанной окружности. Тогда  ∠NBP = ∠NAP = 90°,  точка P – середина дуги AC, поэтому  ∠ABP = ∠CBP,  то есть BP – биссектриса угла ABC. Следовательно, I лежит на BP (см. рис.).

  Диаметр NP является серединным перпендикуляром к отрезку AC, следовательно, NP проходит через M. Как известно (см. задачу 53119), треугольник API – равнобедренный  (AP = IP).  AM – высота прямоугольного треугольника NAP, поэтому  IP : MP = AP : MP = NP : AH = NP : IP.  Отсюда следует подобие треугольников PMI и PIN, значит,  ∠PMI = ∠PIN.
  Но  ∠IMA = ∠PMI – 90°,  а из прямоугольного треугольника BNI:  ∠INB = ∠PINIBN = ∠PIN – 90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2005
Этап
Вариант 4
1
Класс
Класс 9
задача
Номер 05.4.9.4
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2005
Этап
Вариант 4
1
Класс
Класс 10
задача
Номер 05.4.10.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .