ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 30378
Темы:    [ Простые числа и их свойства ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 2+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что  p² – 1  делится на 24, если p – простое число и  p > 3.
б) Докажите, что  p² – q²  делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.


Подсказка

См. задачу 30377.


Решение

  а) Согласно задаче 30777 число  p³ – p = p(p² – 1)  делится на 24. Но простое число p ни на 2, ни на 3 не делится. Поэтому  p² – 1  делится на 24.

  б)  p² – q² = (pq)(p + q).  p – q  и  p + q  – чётные числа, причём их разность 2q не кратна 4. Значит, одно из этих чисел делится на 4.
  2q также не кратно 3, значит,  p – q  и  p + q  дают разные остатки при делении на 3. Если бы ни одно из этих чисел не было кратно 3, то сумма
(p – q) + (p + q) = 2p  делилась бы на 3. Но это не так.
  Поэтому  (p – q)(p + q)  делится на  2·4·3 = 24.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания 1994
Название Ленинградские математические кружки
Издательство Киров: "АСА"
Издание 1
глава
Номер 4
Название Делимость и остатки
Тема Теория чисел. Делимость
задача
Номер 021
книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 2
Название Делимость
Тема Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер 04.023
кружок
Место проведения МЦНМО
класс
Класс 7
год
Год 2004/2005
занятие
Номер 3
задача
Номер 3.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .