Задача 56882

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Средняя линия треугольника ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. Пусть A₁ и B₁ – середины сторон BC и AC, а B₂ и C₂ – точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB. Докажите, что отрезки A₁B₁ и B₂C₂ пересекаются в точке X, лежащей на биссектрисе угла B.

Решение

B₁C –B₂C = ^b/₂ – ½ (a + b – c) = ½ (c – a) > 0   (см. задачу 55404).  Из этого следует, что отрезки A₁B₁ и B₂C₂ пересекаются в некоторой точке X. Треугольник XB₁B₂ подобен равнобедренному треугольнику C₂AB₂, поэтому  XB₁ = B₁B₂ = ½ (c – a).  Следовательно,  A₁X = ^c/₂ – ½ (c – a) = ^a/₂ = A₁B.  Таким образом, треугольник XA₁B равнобедренный, а значит,  ∠XBA₁ = ∠A₁XB = ∠ABX.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	6
Название	Разные задачи
Тема	Треугольники (прочее)
задача
Номер	05.048B