ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 57542
Темы:    [ Экстремальные точки треугольника ]
[ Выход в пространство ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Уравнение плоскости ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 6
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите внутри треугольника ABC точку O, для которой сумма квадратов расстояний от нее до сторон треугольника минимальна.

Решение

Пусть расстояния от точки O до сторон BC, CA и AB равны x, y и z соответственно. Тогда ax + by + cz = 2(SBOC + SCOA + SAOB) = 2SABC. Ясно также, что x : y : z = (SBOC/a) : (SCOA/b) : (SAOB/c).
Уравнение ax + by + cz = 2S задает плоскость в трехмерном пространстве с координатами x, y, z, причем вектор (a, b, c) перпендикулярен этой плоскости, так как если ax1 + by1 + cz1 = 2S и  ax2 + by2 + cz2 = 2S, то a(x1 - x2) + b(y1 - y2) + c(z1 - z2) = 0. Нам нужно найти точку (x0, y0, z0) этой плоскости, для которой достигается минимум выражения x2 + y2 + z2, и проверить, что этой точке соответствует некоторая внутренняя точка треугольника. Так как x2 + y2 + z2 — это квадрат расстояния от начала координат до точки (x, y, z), то искомой точкой является основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, т. е. x : y : z = a : b : c. Остается проверить, что внутри треугольника существует точка O, для которой x : y : z = a : b : c. Это равенство эквивалентно условию

(SBOC/a) : (SCOA/b) : (SAOB/c) = a : b : c,

т. е. SBOC : SCOA : SAOB = a2 : b2 : c2. А так как равенство SBOC : SAOB = a2 : c2 следует из равенств SBOC : SCOA = a2 : b2 и SCOA : SAOB = b2 : c2, то искомая точка — это точка пересечения прямых CC1 и AA1, делящих стороны AB и BC в отношениях BC1 : C1A = a2 : b2 и CA1 : A1B = b2 : c2 соответственно.

Замечания

Решить задачу можно также с помощью метода координат, найдя минимум с помощью производной (Ситдиков Искандер, Набережный Челны)

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 11
Название Задачи на максимум и минимум
Тема Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум.
параграф
Номер 2
Название Экстремальные точки треугольника
Тема Экстремальные точки треугольника
задача
Номер 11.022

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .