ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58134
Темы:    [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Перенос стороны, диагонали и т.п. ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (углы и длины) ]
[ Площадь многоугольника ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при симметризации по Штейнеру площадь многоугольника не изменяется, а его периметр не увеличивается.

Решение

Проведём через каждую вершину многоугольника M прямую, перпендикулярную прямой l. Эти прямые разрезают многоугольник на трапеции (некоторые из трапеций могут вырождаться в треугольники). При симметризации по Штейнеру каждая такая трапеция заменяется на равнобочную трапецию с теми же основаниями и той же высотой. Ясно, что при такой замене площадь трапеции не изменяется. Остаётся проверить, что периметр не увеличивается. При этом достаточно рассмотреть случай, когда трапеция вырождается в треугольник. Действительно, если ABCD — трапеция с основаниями AB и CD, где AB$ \le$CD, то от неё можно отрезать параллелограмм ABCD'.
Итак, пусть ABC — треугольник, у которого сторона AB фиксирована, а вершина C движется по прямой m, параллельной AB. Пусть точка B' симметрична точке B относительно прямой m. Тогда AC + CB = AC + CB'$ \ge$AB'. Равенство достигается тогда и только тогда, когда AC = CB.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 22
Название Выпуклые и невыпуклые многоугольники
Тема Выпуклые и невыпуклые фигуры
параграф
Номер 3
Название Симметризация по Штейнеру
Тема Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее)
задача
Номер 22.012B1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .