ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 58370
Тема:    [ Аффинные преобразования и их свойства ]
Сложность: 6
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции растяжения (сжатия) и аффинного преобразования, переводящего любой треугольник в подобный ему треугольник.

Решение

Пусть L — данное аффинное преобразование, O — произвольная точка, T — сдвиг на вектор $ \overrightarrow{L(O)O}$, и пусть L1 = ToL. Тогда O — неподвижная точка преобразования L1. Среди всех точек единичной окружности с центром O выберем точку A, для которой максимальна длина вектора L($ \overrightarrow{OA}$). Пусть H — поворотная гомотетия с центром O, которая точку L1(A) переводит в точку A, и пусть L2 = HoL1 = HoToL. Тогда L2 есть аффинное преобразование, которое оставляет на месте точки O и A, а значит, согласно задаче 29.4, в), и все остальные точки прямой OA, причем, в силу выбора точки A, для всех точек M имеем неравенство |$ \overrightarrow{OM}$|$ \ge$| L($ \overrightarrow{OM}$)|.
Докажем (и из этого будет следовать утверждение задачи), что L2 — сжатие относительно прямой OA. Если преобразование L2 тождественно, то оно является сжатием с коэффициентом 1, поэтому будем считать, что L2 не тождественно. Согласно задаче 29.9 все прямые вида $ \overrightarrow{ML_2(M)}$, где M — произвольная точка не на прямой OA, друг другу параллельны. Пусть $ \overrightarrow{OB}$ — единичный вектор, перпендикулярный всем этим прямым. Тогда B — неподвижная точка преобразования L2, так как иначе было бы

|$\displaystyle \overrightarrow{OL_2(B)}$| = $\displaystyle \sqrt{OB^2+BL_2(B)^2}$ > | OB|.

Если B не лежит на прямой OA, то согласно задаче 29.6, б) преобразование L2 тождественно. Если B лежит на прямой OA, то все прямые вида ML2(M) перпендикулярны неподвижной прямой преобразования L2. При помощи задачи 29.4, в) несложно показать, что отображение, обладающее этим свойством, является растяжением или сжатием.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 29
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинная геометрия
параграф
Номер 1
Название Аффинные преобразования
Тема Аффинные преобразования и их свойства
задача
Номер 29.009

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .