Все авторы
>>
Богданов И.И. 
Илья Игоревич Богданов - доцент Московского физико-технического института, кандидат физико-математических наук, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике
Фильтр
Выбрано 9 задач Убрать все задачи
У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен f(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен g(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение f(x) = g(x) имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?
На шахматной доске расставлены во всех клетках 32 белых и 32 черных пешки. Пешка может бить пешки противоположного цвета, делая ход по диагонали на одну клетку и становясь на место взятой пешки (белые пешки могут бить только вправо-вверх и влево-вверх, а чёрные – только влево-вниз и вправо-вниз). Другим образом пешки ходить не могут. Какое наименьшее количество пешек может остаться на доске?
Пространство разбито на одинаковые кубики. Верно ли, что для каждого из этих кубиков обязательно найдётся другой, имеющий с ним общую грань?
Существуют ли такие попарно различные натуральные числа m, n, p, q, что m + n = p + q и
Даны различные натуральные числа a, b. На координатной плоскости нарисованы графики функций y = sin ax, y = sin bx и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число c, отличное от a, b и такое, что график функции y = sin cx проходит через все отмеченные точки.
На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и точка с координатой d, где d – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
В некой стране 100 городов (города считайте точками на плоскости). В справочнике для каждой пары городов имеется запись, каково расстояние между ними (всего 4950 записей).
а) Одна запись стёрлась. Всегда ли можно однозначно восстановить её по остальным?
б) Пусть стёрлись k записей, и известно, что в этой стране никакие три города не лежат на одной прямой. При каком наибольшем k всегда можно однозначно восстановить стёршиеся записи?
В клетках квадрата 5×5 изначально были записаны нули. Каждую минуту Вася выбирал две клетки с общей стороной и либо прибавлял по единице к числам в них, либо вычитал из них по единице. Через некоторое время оказалось, что суммы чисел во всех строках и столбцах равны. Докажите, что это произошло через чётное число минут.
Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть l – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка I, параллельного l, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число C (зависящее только от прямой l) такое, что все полученные разности не превосходят C.
Все задачи автора Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 177]
Задача 116601 |
|
|
Даны различные натуральные числа a, b. На координатной плоскости нарисованы графики функций y = sin ax, y = sin bx и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число c, отличное от a, b и такое, что график функции y = sin cx проходит через все отмеченные точки.
|
|
Решение |
Задача 116635 |
|
|
У Пети и Коли в тетрадях записаны по два числа; изначально – это числа 1 и 2 у Пети, 3 и 4 – у Коли. Раз в минуту Петя составляет квадратный трёхчлен f(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа, а Коля – квадратный трёхчлен g(x), корнями которого являются записанные в его тетради два числа. Если уравнение f(x) = g(x) имеет два различных корня, то один из мальчиков заменяет свою пару чисел на эти корни; иначе ничего не происходит. Какое второе число могло оказаться у Пети в тетради в тот момент, когда первое стало равным 5?
|
|
|
Решение |
Задача 116773 |
|
|
Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть l – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка I, параллельного l, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число C (зависящее только от прямой l) такое, что все полученные разности не превосходят C.
|
|
|
Решение |
Задача 64654 |
|
|
Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по натуральному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?
|
|
Решение |
Задача 64660 |
|
|
Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по положительному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?
|
|
|
Решение |
Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 177]
