Страница:
<< 20 21 22 23
24 25 26 >> [Всего задач: 181]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
В Камелот съехались $100$ рыцарей Круглого Стола, любые два из которых либо дружат, либо враждуют (дружба и вражда взаимны). Фея Моргана может выбрать любого рыцаря и сделать так, что он поссорится со всеми своими друзьями и при этом подружится со всеми своими врагами. Накладывать это заклинание Моргана может сколько угодно раз. Докажите, что она сможет добиться того, чтобы в итоге образовались такие две группы по $5$ рыцарей, что каждый рыцарь из первой пятёрки будет враждовать с каждым рыцарем из второй.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Даны $2N$ действительных чисел. Известно, что как ни разбей их на две группы по $N$ чисел, произведение чисел первой группы отличается от произведения
чисел второй группы не более чем на $2$. Верно ли, что как ни расставь эти числа по кругу, найдутся два соседних числа, различающихся не более чем на $2$, если
а) $N=50$;
б) $N=25$?
В треугольнике
ABC медианы
AD и
BE пересекаются в точке
M .
Докажите, что если угол
AMB а) прямой; б) острый, то
AC+BC >3
AB .
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что найдутся четыре таких целых числа a, b, c, d, по модулю
больших 1000000, что 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1/abcd.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
|
На отрезке [0, N] отмечены его концы и еще две точки так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок [0, N], целые и взаимно просты в совокупности. Если нашлись такие две отмеченные точки A и B, что расстояние между ними кратно 3, то можно разделить отрезок AB на три равных части, отметить одну из точек деления и стереть одну из точек A, B. Верно ли, что за несколько таких действий можно отметить любую наперед заданную целую точку отрезка [0, N]?
Страница:
<< 20 21 22 23
24 25 26 >> [Всего задач: 181]
Все авторы
>>
Богданов И.И. 
