Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 181]

Задача 116752

Темы:	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Углы между прямыми и плоскостями	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Авторы: Богданов И.И., Карасев Р.

Внутри выпуклого многогранника выбрана точка P и несколько прямых l₁, ..., l_n, проходящих через P и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых l₁, ..., l_n, которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116765

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
Темы:	[	Симметрические многочлены	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Богданов И.И.

Каждые два из действительных чисел a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного k выполнены равенства Докажите, что k² ≥ ²⁵/₃.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64350

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вспомогательные равные треугольники	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Поворотная гомотетия (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

Автор: Богданов И.И.

На сторонах остроугольного треугольника ABC вне него построены квадраты CAKL и CBMN. Прямая CN пересекает отрезок AK в точке X, а прямая CL пересекает отрезок BM в точке Y. Точка P, лежащая внутри треугольника ABC, является точкой пересечения описанных окружностей треугольников KXN и LYM. Точка S – середина отрезка AB. Докажите, что ∠ACS = ∠BCP.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64358

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Инварианты	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Фон-дер-Флаас Д.

На плоскости нарисован квадрат, стороны которого горизонтальны и вертикальны. В нём проведены несколько отрезков, параллельных сторонам, причём никакие два отрезка не лежат на одной прямой и не пересекаются по точке, внутренней для обоих отрезков. Оказалось, что отрезки разбили квадрат на прямоугольники, причём каждая вертикальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения, пересекает ровно k прямоугольников разбиения, а каждая горизонтальная прямая, пересекающая квадрат и не содержащая отрезков разбиения – ровно l прямоугольников. Каким могло оказаться количество прямоугольников разбиения?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64980

Темы:	[	Общая касательная к двум окружностям	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

В угол вписаны две окружности ω и Ω. Прямая l пересекает стороны угла в точках A и F, окружность ω в точках B и C, окружность Ω в точках D и E (порядок точек на прямой – A, B, C, D, E, F). Пусть BC = DE. Докажите, что AB = EF.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 181]