Processing math: 100%
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Богданов И.И.

Илья Игоревич Богданов - доцент Московского физико-технического института, кандидат физико-математических наук, член жюри Всероссийской олимпиады школьников по математике

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 179]      



Задача 66936

Темы:   [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Сфера, описанная около тетраэдра ]
[ Сечения, развертки и остовы (прочее) ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, а J – центр сферы, касающейся грани BCD и плоскостей остальных граней (вне самих граней). Отрезок IJ пересекает сферу, описанную около тетраэдра, в точке K. Что больше: IK или JK?
Прислать комментарий     Решение


Задача 111797

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Радикальная ось ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Вписанная окружность σ треугольника ABC касается его сторон BC , AC , AB в точках A' , B' , C' соответственно. Точки K и L на окружности σ таковы, что AKB'+ BKA'= ALB'+ BLA'=180o . Докажите, что прямая KL равноудалена от точек A' , B' , C' .
Прислать комментарий     Решение


Задача 64768

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

В государстве n городов, и между каждыми двумя из них курсирует экспресс (в обе стороны). Для каждого экспресса цены билетов "туда" и "обратно" равны, а для разных экспрессов эти цены различны. Докажите, что путешественник может выбрать начальный город, выехать из него и проехать последовательно на  n – 1  экспрессах, платя за проезд на каждом следующем меньше, чем за проезд на предыдущем. (Путешественник может попадать несколько раз в один и тот же город.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 64852

Темы:   [ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Теория алгоритмов ]
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Паутина имеет вид клетчатой сетки 100×100 узлов (другими словами, это сетка 99×99 клеток). В каком-то её углу сидит паук, а в некоторых 100 узлах к паутине приклеились мухи. За ход паук может переместиться в любой соседний с ним узел. Может ли паук гарантированно съесть всех мух, затратив не более
  а) 2100 ходов;
  б) 2000 ходов?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65249

Темы:   [ Взвешивания ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Оценка + пример ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

У нумизмата есть 100 одинаковых по внешнему виду монет. Он знает, что среди них 30 настоящих и 70 фальшивых монет. Кроме того, он знает, что массы всех настоящих монет одинаковы, а массы всех фальшивых – разные, причём каждая фальшивая монета тяжелее настоящей; однако точные массы монет неизвестны. Имеются двухчашечные весы без гирь, на которых можно за одно взвешивание сравнить массы двух групп, состоящих из одинакового числа монет. За какое наименьшее количество взвешиваний на этих весах нумизмат сможет гарантированно найти хотя бы одну настоящую монету?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 179]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .