Страница:
<< 27 28 29 30
31 32 33 >> [Всего задач: 181]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
|
Рациональные числа x, y и z таковы, что все числа x + y² + z², x² + y + z² и x² + y² + z целые. Докажите, что число 2x целое.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Пусть $I$ – центр сферы, вписанной в тетраэдр $ABCD$, а $J$ – центр сферы, касающейся грани $BCD$ и плоскостей остальных граней (вне самих граней). Отрезок $IJ$ пересекает сферу, описанную около тетраэдра, в точке $K$. Что больше: $IK$ или $JK$?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
В выпуклый четырехугольник $ABCD$ вписаны два параллелограмма $KL_1M_1N_1$ и $KL_2M_2N_2$ так, что $K$ – середина $AB$, а $L_1$, $M_1$, $N_1$ и $L_2$, $M_2$, $N_2$ лежат на сторонах $BC$, $CD$, $DA$ соответственно. Может ли оказаться, что площадь одного параллелограмма меньше половины площади четырехугольника, а площадь другого больше?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
Вписанная окружность
σ треугольника
ABC касается его сторон
BC ,
AC ,
AB в точках
A' ,
B' ,
C' соответственно. Точки
K и
L на окружности
σ таковы, что
AKB'+ BKA'= ALB'+ BLA'=180
o . Докажите, что прямая
KL равноудалена от точек
A' ,
B' ,
C' .
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
В государстве n городов, и между каждыми двумя из них курсирует экспресс (в обе стороны). Для каждого экспресса цены билетов "туда" и "обратно" равны, а для разных экспрессов эти цены различны. Докажите, что путешественник может выбрать начальный город, выехать из него и проехать последовательно на n – 1 экспрессах, платя за проезд на каждом следующем меньше, чем за проезд на предыдущем. (Путешественник может попадать несколько раз в один и тот же город.)
Страница:
<< 27 28 29 30
31 32 33 >> [Всего задач: 181]
Все авторы
>>
Богданов И.И. 
