Страница:
<< 5 6 7 8
9 10 11 >> [Всего задач: 80]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Докажите, что каждое натуральное число является разностью двух натуральных
чисел, имеющих одинаковое количество простых делителей.
(Каждый простой делитель учитывается один раз, например, число 12 имеет два простых делителя: 2 и 3.)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Даны числа 1, 2, ..., N, каждое из которых окрашено либо в чёрный, либо в белый цвет. Разрешается перекрашивать в противоположный цвет любые три числа, одно из которых равно полусумме двух других. При каких N всегда можно сделать все числа белыми?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
По шоссе мимо наблюдателя проехали "Москвич", "Запорожец" и двигавшаяся им навстречу "Нива". Известно, что когда с наблюдателем поравнялся "Москвич", то он был равноудалён от "Запорожца" и "Нивы", а когда с наблюдателем поравнялась "Нива", то она была равноудалена от "Москвича" и "Запорожца". Докажите, что "Запорожец" в момент проезда мимо наблюдателя был равноудалён от "Нивы" и "Москвича". (Скорости автомашин считаем постоянными. В рассматриваемые моменты
равноудалённые машины находились по разные стороны от наблюдателя.)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 7,8,9
|
Набор пятизначных чисел $\{N_1, \dots, N_k\}$ таков, что любое
пятизначное число, все цифры которого идут в возрастающем порядке, совпадает хотя бы в одном разряде хотя бы с одним из чисел $N_1, \dots, N_k$.
Найдите наименьшее возможное значение $k$.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Числа a, b и c таковы, что (a + b)(b + c)(c + a) = abc, (a³ + b³)(b³ + c³)(c³ + a3) = a³b³c³. Докажите, что abc = 0.
Страница:
<< 5 6 7 8
9 10 11 >> [Всего задач: 80]
Все авторы
>>
Токарев С.И. 
