Версия для печати
Убрать все задачи

---

Используя пять двоек, арифметические действия и возведение в степень, составьте числа от 1 до 26.

   Решение

---

Даны пять точек некоторой окружности. С помощью одной линейки постройте шестую точку этой окружности.

   Решение

---

Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1 < a_2 < \dots$ такова, что при каждом целом $n > 100$ число $a_n$ равно наименьшему натуральному числу, большему чем $a_{n-1}$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное количество составных чисел.

   Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 320]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66706

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Гомотетия (прочее) ] [ Теория алгоритмов (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

В таблице 10×10 записано 100 различных чисел. За ход можно выбрать любой составленный из клеток прямоугольник и переставить все числа в нём симметрично относительно его центра ("повернуть прямоугольник на 180°"). Всегда ли за 99 ходов можно добиться, чтобы числа возрастали в каждой строке слева направо и в каждом столбце – снизу вверх?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67116

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные проекции ] [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На плоскости даны десять точек таких, что любые четыре лежат на контуре некоторого квадрата. Верно ли, что все десять лежат на контуре некоторого квадрата?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98230

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Теория графов (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

В Простоквашинской начальной школе учится всего 20 детей. У каждых двух из них есть общий дед.
Докажите, что у одного из дедов в этой школе учится не менее 14 внуков и внучек.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98267

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

На координатной плоскости отмечены некоторые точки с целыми координатами. Известно, что никакие четыре из них не лежат на одной окружности. Докажите, что найдётся круг радиуса 1995, в котором не отмечено ни одной точки.

 

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98287

Темы:   [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Наибольший треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прямоугольник разбит на прямоугольные треугольники, граничащие друг с другом только по целым сторонам, так, что общая сторона двух треугольников всегда служит катетом одного и гипотенузой другого. Докажите, что отношение большей стороны прямоугольника к меньшей не менее 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 320]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями