Страница:
<< 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Сколько существует таких пар натуральных чисел (m, n), каждое из которых не превышает 1000, что 
Из центра O правильного n-угольника A1A2...An проведены n векторов в его вершины. Даны такие числа a1, a2, ..., an, что
a1 > a2 > ... > an > 0. Докажите, что линейная комбинация векторов 
отлична от нулевого вектора.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10
|
Хозяйка испекла для гостей пирог. За столом может оказаться либо p человек, либо q (p и q взаимно просты). На какое минимальное количество кусков (не обязательно равных) нужно заранее разрезать пирог, чтобы в любом случае его можно было раздать поровну?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
|
Круг разбит на n секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек n + 1. Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы.
Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет
занято.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
У входа в пещеру стоит барабан, на нём по кругу через равные промежутки расположены
N одинаковых с виду бочонков. Внутри каждого бочонка лежит селёдка – либо головой вверх, либо головой вниз, но где как – не видно (бочонки закрыты). За один ход Али-Баба выбирает любой набор бочонков (от 1 до
N штук) и переворачивает их все. После этого барабан приходит во вращение, а когда останавливается, Али-Баба не может определить, какие бочонки перевёрнуты. Пещера откроется, если во время вращения барабана все
N селёдок будут расположены головами в одну сторону. При каких
N Али-Баба сможет открыть пещеру?
Страница:
<< 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]
Все авторы
>>
Фомин Д. 
