Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: 1 [Всего задач: 4]

Задача 67066

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Автор: Глебов А.

Прямоугольник 1×3 будем называть триминошкой. Петя и Вася независимо друг от друга разбивают доску 20×21 на триминошки. Затем они сравнивают полученные разбиения, и Петя платит Васе столько рублей, сколько триминошек в этих двух разбиениях совпали (оказались на одинаковых позициях). Какую наибольшую сумму выигрыша может гарантировать себе Вася независимо от действий Пети?

Прислать комментарий

Решение

Задача 67069

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Глебов А.

Пусть $n$ – натуральное число. Назовём последовательность $a_1, a_2, ..., a_n$ интересной, если для каждого $i$ = 1, 2, ..., $n$ верно одно из равенств $a_i = i$ или $a_i = i$ + 1. Назовём интересную последовательность чётной, если сумма её членов чётна, и нечётной – иначе. Для каждой нечётной интересной последовательности нашли произведение её чисел и записали его на первый листок. Для каждой чётной – сделали то же самое и записали на второй листок. На каком листке сумма чисел больше и на сколько? (Дайте ответ в зависимости от $n$ .)

Прислать комментарий

Решение

Задача 67289

Темы:	[	Теория игр (прочее)	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Глебов А.

Петя и Вася по очереди красят рёбра $N$ -угольной пирамиды: Петя – в красный цвет, а Вася – в зелёный (ребро нельзя красить дважды). Начинает Петя. Выигрывает Вася, если после того, как все рёбра окрашены, из любой вершины пирамиды в любую другую вершину ведёт ломаная, состоящая из зелёных рёбер. В противном случае выигрывает Петя. Кто из игроков может действовать так, чтобы всегда выигрывать, как бы ни играл его соперник?

Прислать комментарий Решение

Задача 109829

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Степень вершины	]
	[	Перестройки	]
	[	Процессы и операции	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Авторы: Глебов А., Фон-дер-Флаас Д.

На бесконечном белом листе клетчатой бумаги конечное число клеток окрашено в чёрный цвет так, что у каждой чёрной клетки чётное число (0, 2 или 4) белых клеток, соседних с ней по стороне. Докажите, что каждую белую клетку можно окрасить в красный или зелёный цвет так, чтобы у каждой чёрной клетки стало поровну красных и зелёных клеток, соседних с ней по стороне.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 4]