Страница:
<< 14 15 16 17
18 19 20 >> [Всего задач: 101]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
Для какого наибольшего
n можно придумать две бесконечные в обе стороны
последовательности
A и
B такие, что любой кусок последовательности
B
длиной
n содержится в
A,
A имеет период 1995, а
B этим свойством не
обладает (непериодична или имеет период другой длины)?
Комментарий.
Последовательности могут состоять из произвольных символов. Речь идет о
минимальном периоде.
Пусть $l_a$, $l_b$ и $l_c$ – длины биссектрис углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$, а $m_a$, $m_b$ и $m_c$ – длины соответствующих медиан. Докажите, что
$$ \frac{l_a}{m_a} + \frac{l_b}{m_b} +\frac{l_c}{m_c} > 1.$$
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
а) На стол положили (с перекрытиями) несколько одинаковых салфеток, имеющих форму правильного шестиугольника, причём у всех салфеток одна сторона параллельна одной и той же прямой. Всегда ли можно вбить в стол несколько гвоздей так, что все салфетки будут прибиты, причём каждая – только одним гвоздём?
б) Тот же вопрос про правильные пятиугольники.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10
|
Дана функция 
, где трёхчлены x² + ax + b и x² + cx + d не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
2) f(x) представима в виде: f(x) = f1(f2(...fn–1(fn(x))...)), где каждая из функций fi(x) есть функция одного из видов:
kix + bi, x–1, x².
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Докажите, что первые цифры чисел вида 22n
образуют непериодическую последовательность.
Страница:
<< 14 15 16 17
18 19 20 >> [Всего задач: 101]
Все авторы
>>
Канель-Белов А.Я. 
