Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 141]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$
и $CC_1$. Окружность, описанная вокруг треугольника $A_1BC_1$,
проходит через точку $M$ пересечения медиан. Найдите все возможные
значения величины угла $B$.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Ортогональной проекцией тетраэдра на плоскость одной из его граней является трапеция площади 1. Может ли ортогональной проекцией этого тетраэдра на плоскость другой его грани быть квадрат площади 1?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Существуют ли 100 таких натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, что куб одного из них равен сумме кубов остальных?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
На экране суперкомпьютера напечатано число $11\ldots 1$ ($900$ единиц). Каждую секунду суперкомпьютер заменяет его по следующему правилу. Число записывается в виде $\overline{AB}$, где $B$ состоит из двух его последних цифр, и заменяется на $2\cdot A + 8\cdot B$ (если $B$ начинается на нуль, то он при вычислении опускается). Например, $305$ заменяется на $2\cdot 3 + 8 \cdot 5 = 46$. Если на экране остаётся число, меньшее $100$, то процесс останавливается. Правда ли, что он остановится?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
На плоскости даны две окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_{1}$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_{2}$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$.
Страница: << 23 24 25 26 27 28 29 >> [Всего задач: 141]
Все авторы
>>
Евдокимов М.А. 
