Страница:
<< 27 28 29 30
31 32 33 >> [Всего задач: 171]
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
На сторонах $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$ с углом $B$, равным $45^\circ$, выбрали соответственно точки $Q$ и $P$ так, что угол $BAP$ в три раза меньше угла $A$, а угол $BCQ$ в три раза меньше угла $C$. Пусть $M$ — точка пересечения отрезков $AP$ и $CQ$. Описанные окружности треугольников $BPM$ и $BQM$ повторно пересекают стороны $AB$ и $BC$ в точках $N$ и $K$ соответственно. Докажите, что из отрезков $AN$, $AC$ и $CK$ можно сложить треугольник, и найдите наибольший угол этого треугольника.
Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках P и Q соответственно. Пусть RS – средняя линия треугольника, параллельная AB, T – точка пересечения прямых PQ и RS. Докажите, что T лежит на биссектрисе угла B треугольника.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11
|
Рассматриваются всевозможные квадратные трёхчлены вида x² + px + q, где p, q – целые, 1 ≤ p ≤ 1997, 1 ≤ q ≤ 1997.
Каких трёхчленов среди них больше: имеющих целые корни или не имеющих действительных корней?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Все грани шестигранника – четырёхугольники, а в каждой его вершине сходятся по три ребра. Верно ли, что если для него существуют вписанная и описанная сферы, центры которых совпадают, то этот шестигранник – куб?
У Деда Мороза было n сортов конфет, по k штук каждого сорта. Он распределил все конфеты как попало по k подаркам, в каждый – по n конфет, и раздал их k детям. Дети решили восстановить справедливость. Два ребёнка готовы передать друг другу по конфете, если каждый получает конфету сорта, которого у него нет. Всегда ли можно организовать серию обменов так, что у каждого окажутся конфеты всех сортов?
Страница:
<< 27 28 29 30
31 32 33 >> [Всего задач: 171]
Все авторы
>>
Евдокимов М.А. 
