В треугольнике $ABC$ точки $M$, $N$ – середины сторон $AB$, $AC$ соответственно; серединный перпендикуляр к биссектрисе $AL$ пересекает биссектрисы углов $B$ и $C$ в точках $P$, $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PM$ и $QN$ пересекаются на касательной к описанной окружности треугольника $ABC$ в точке $A$.

   Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]      

По кругу расставлено девять чисел – четыре единицы и пять нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают.
Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?

Прислать комментарий

Решение

Рассмотрим все натуральные числа, в десятичной записи которых участвуют лишь цифры 1 и 0. Разбейте эти числа на два непересекающихся подмножества так, чтобы сумма любых двух различных чисел из одного и того же подмножества содержала в своей десятичной записи не менее двух единиц.

Прислать комментарий

Решение

a) Найдите число k, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и k).
б) Докажите, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замене 14 на 17 решений вообще не будет.

Прислать комментарий

Решение

При каких n гири массами 1 г, 2 г, 3 г, ..., n г можно разложить на три равные по массе кучки?

Прислать комментарий

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 [Всего задач: 5]