ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все авторы >> Митрофанов И.В.

Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



Задача 65737

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Инварианты и полуинварианты (прочее) ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

а) Есть неограниченный набор карточек со словами "abc", "bca", "cab". Из них составляют слово по такому правилу. В качестве начального слова выбирается любая карточка, а далее на каждом шаге к имеющемуся слову можно либо приклеить карточку слева или справа, либо разрезать слово в любом месте (между буквами) и вклеить карточку туда. Можно ли так составить палиндром?

б) Есть неограниченный набор красных карточек со словами "abc", "bca", "cab" и синих карточек со словами "cba", "acb", "bac". Из них по тем же правилам составили палиндром. Верно ли, что было использовано одинаковое количество красных и синих карточек?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65876

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

а) Группа людей прошла опрос, состоящий из 20 вопросов, на каждый из которых возможно два ответа. После опроса оказалось, что для любых 10 вопросов и любой комбинации ответов на эти вопросы существует человек, давший именно эти ответы на эти вопросы. Обязательно ли найдутся два человека, у которых ответы ни на один вопрос не совпали?
б) Решите ту же задачу, если на каждый вопрос есть 12 вариантов ответа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116007

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В школе решили провести турнир по настольному теннису между математическими и гуманитарными классами. Команда гуманитарных классов состоит из n человек, команда математических – из m, причём  nm.  Так как стол для игры всего один, было решено играть следующим образом. Сначала какие-то два ученика из разных команд начинают играть между собой, а все остальные участники выстраиваются в одну общую очередь. После каждой игры человек, стоящий в очереди первым, заменяет за столом члена своей команды, который становится в конец очереди. Докажите, что рано или поздно каждый математик сыграет с каждым гуманитарием.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116839

Темы:   [ Центр масс ]
[ Сферы (прочее) ]
[ Правильные многогранники (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Линейные зависимости векторов ]
[ Скалярное произведение ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

а) Внутри сферы находится некоторая точка A. Через A провели три попарно перпендикулярные прямые, которые пересекли сферу в шести точках.
Докажите, что центр масс этих точек не зависит от выбора такой тройки прямых.

б) Внутри сферы находится икосаэдр, его центр A не обязательно совпадает с центром сферы. Лучи, выпущенные из A в вершины икосаэдра, высекают 12 точек на сфере. Икосаэдр повернули так, что его центр остался на месте. Теперь лучи высекают 12 новых точек.
Докажите, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111337

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Теория игр (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

У Васи есть 100 банковских карточек. Вася знает, что на одной из карточек лежит 1 рубль, на другой – 2 рубля, и так далее, на последней – 100 рублей, но не знает, на какой из карточек сколько денег. Вася может вставить карточку в банкомат и запросить некоторую сумму. Банкомат выдает требуемую сумму, если она на карточке есть, не выдает ничего, если таких денег на карточке нет, а карточку съедает в любом случае. При этом банкомат не показывает, сколько денег было на карточке. Какую наибольшую сумму Вася может гарантированно получить?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 22]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .