Каталог по авторам

Все задачи автора

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 85]

Задача 35585

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
	[	Степень вершины	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Какое наименьшее число соединений требуется для организации проводной сети связи из 10 узлов, чтобы при выходе из строя любых двух узлов связи сохранялась возможность передачи информации между любыми двумя оставшимися (хотя бы по цепочке через другие узлы)?

Решение

Оценка. Для того, чтобы сохранилась связь при выходе из строя любых двух узлов, необходимо, чтобы в каждый узел входило не менее трёх линий связи (если узел А соединён с двумя узлами В и С, то при выходе из строя узлов В и С узел А становится недоступным). Таким образом, всего линий связи должно быть не менее 10·3 : 2 = 15.
Пример: каркас пятиугольной призмы (10 вершин – узлы, а рёбра – линии связи). Если вышли из строя два узла на одном пятиугольнике – основании призмы, то связь сохранится через другой пятиугольник. Если вышли из строя по одному узлу на разных пятиугольниках, то связь тоже сохранится.

Прислать комментарий

Задача 64466

Темы:	[	Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения.	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Кожевников П.А.

а) Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Пусть r₁ ≤ r₂ ≤ r₃ ≤ r₄ – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABC, BCD, CDA, DAB. Может ли оказаться, что r₄ > 2r₃?

б) В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке E. Пусть r₁ ≤ r₂ ≤ r₃ ≤ r₄ – взятые в порядке возрастания радиусы вписанных окружностей треугольников ABE, BCE, CDE, DAE. Может ли оказаться, что r₂ > 2r₁?

Решение

а) Пусть для определенности r₄ = r_ABC. Середина K диагонали AC лежит в одном из треугольников ABD, CBD, скажем, в треугольнике ABD. Тогда треугольник AKL, где L – середина AB, целиком содержится в треугольнике ABD, поэтому r_ABC = 2r_AKL < 2r_ABD ≤ 2r₃.

б) Пусть r = r₁ – радиус вписанной окружности треугольника ABE. Так как диаметры вписанных окружностей треугольников BCE, ADE меньше высот этих треугольников, совпадающих с высотами h_a, h_b треугольника ABE, достаточно доказать, что одна из этих высот не превосходит 4r. Пусть AE ≥ BE. Тогда полупериметр треугольника p < AE + BE ≤ 2AE и

Ответ

а), б) Не может.

Прислать комментарий

Задача 64743

Темы:	[	Взаимное расположение двух окружностей	]
Темы:	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Кожевников П.А.

Каждая из двух равных окружностей ω₁ и ω₂ проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω₁, а прямые AC, BC касаются ω₂.
Докажите, что cos∠A + cos∠B = 1.

Решение

Пусть R – радиус окружностей, O – центр ω₂, P – точка на ω₁, диаметрально противоположная к O, а A' – точка касания AC и ω₂. Так как CO – биссектриса угла ACB, точки A и B симметричны относительно прямой OP.
Заменим сумму косинусов произведением: cos∠A + cos∠B = 2 sin(½ ∠C) cos(½ (∠A – ∠B)). Из отмеченной выше симметрии следует, что
½ |∠A – ∠B| = ∠OCP, то есть OP cos(½ (∠A – ∠B)) = CO. Поскольку ½ ∠C = ∠OCA = ∠OCA', то CO sin (½ ∠C) = OA' = R = ^OP/₂. Итак, что и требовалось.

Прислать комментарий

Задача 65071

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
Темы:	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Кожевников П.А.

Даны натуральные числа a и b, причём a < 1000. Докажите, что если a²¹ делится на b¹⁰, то a² делится на b.

Решение

Предположим, что найдётся простое число p, входящее в разложение числа a² на простые множители с показателем меньшим, чем в разложение числа b. То есть, если a делится на p^k, но не делится на p^k+1, а b делится на p^m, но не делится на p^m+1, то m > 2k, а значит, m ≥ 2k + 1. Но из делимости a²¹ на b¹⁰ следует, что 21k ≥ 10m. Отсюда 21k ≥ 10(2k + 1), то есть k ≥ 10. Но a < 1000 < 2¹⁰ ≤ p¹⁰ ≤ p^k, поэтому a не может делиться на p^k. Противоречие.

Прислать комментарий

Задача 65097

Темы:	[	Пятиугольники	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Кожевников П.А.

Выпуклый пятиугольник ABCDE таков, что AB || CD, BC || AD, AC || DE, CE ⊥ BC. Докажите, что EC – биссектриса угла BED.

Решение

Продлим отрезок DE до пересечения с прямой BC в точке K. Из условия следует, что ABCD и ADKC – параллелограммы, откуда BC = AD = CK. Таким образом, EC – медиана и высота, а, значит, и биссектриса треугольника BEK.

Прислать комментарий

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 85]